Calcolo delle proporzioni

In questo appunto di fisica si tratta del calcolo delle proporzioni. Uno strumento fondamentale per l’apprendimento di molti concetti sia della fisica ma anche di altre discipline scientifiche in generale. Nella sua semplicità, l’uguaglianza di due rapporti o se vogliamo due frazioni, rappresenta un algoritmo di rapida esecuzione e perciò va ad arricchire il bagaglio culturale di ogni studente. Introduciamo l’argomento utilizzando un esempio molto semplice e procediamo ripassando le proprietà delle proporzioni e il loro utilizzo anche per la risoluzione di problemi di natura geometrica.

Proporzione: uguaglianza tra due rapporti

Introduciamo le proporzioni attraverso un semplice esempio pratico.
La ricetta di una torta per sei persone riporta tra gli altri anche questi ingredienti, con l'indicazione per ciascuno delle dosi: 4 uova, 200 grammi di zucchero, 200 grammi di farina, 200 grammi di burro.

Quante uova in più ci vogliono?
La ricetta prevede quattro uova per sei persone, ci serve un numero in modo tale che il rapporto tra il numero originale delle uova e il nuovo numero sia uguale al rapporto tra le proporzioni:

Abbiamo scritto una proporzione, una uguaglianza tra due rapporti.
Modificando le quantità degli ingredienti che servono per preparare la torta dobbiamo fare in modo che sia conservato il rapporto originale tra essi.

Termini della proporzione: medi, estremi, antecedenti, conseguenti

La forma più generale di una proporzione è la seguente:

Come si legge?
A sta a B come C sta D
I quattro termini di una proporzione possono avere nomi differenti in funzione del posto che occupano.
Gli elementi situati al centro sono detti medi: B e C sono medi.
Gli elementi situati alle estremità sono detti estremi: A e D sono estremi.
All’interno del rapporto il primo elemento si chiama antecedente, che sta prima, il secondo si chiama conseguente, he sta dopo. Il primo è il terzo, A e C sono antecedenti; il secondo e il quarto, B e D, sono conseguenti.

Proprietà delle proporzioni

Per le proporzioni possiamo utilizzare 5 proprietà, la prima è detta proprietà fondamentale delle proporzioni ed è la più importante.
In virtù di questa proprietà vale la seguente regola:

La proprietà afferma che il prodotto degli elementi medi è uguale al prodotto degli elementi estremi.
La seconda proprietà prende il nome di proprietà del permutare perché permette lo scambio tra i medi oppure tra gli estremi, applicando questa proprietà la relazione che si ottiene è ancora una proporzione.
La terza proprietà è la proprietà dell’invertire: se si scambiano ciascun antecedente con il proprio conseguente, si ottiene una relazione che è ancora una proporzione.
La quarta proprietà è la proprietà del comporre: In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo oppure al secondo, come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo oppure al quarto.
La proprietà dello scomporre simile alla precedente e afferma quanto segue: in ogni proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo oppure al secondo così come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo oppure al quarto termine.
Per ulteriori approfondimenti sull’applicazione delle proprietà delle proporzioni vedi qua

Come ricavare un termine incognito in una proporzione

Utilizzando la proprietà fondamentale si può calcolare uno dei quattro termini della proporzione.
Se bisogna trovare un medio allora bisogna fare la moltiplicazione tra i due estremi e poi dividere questo prodotto per l’altro medio.
Se si vuole trovare un estremo allora bisogna moltiplicare i due medi e poi la divisione con l’altro estremo.
Una proporzione caratterizzata da due medi uguali tra loro è detta continua, e questo termine viene detto medio proporzionale tra il primo e il quarto.
Quando il medio proporzionale è incognito, per determinarlo si applica la proprietà fondamentale e si ottiene una equazione di secondo grado pura. Il medio proporzionale è la radice quadrata del prodotto dei due estremi.

Utilità delle proporzioni

Le proporzioni sono uno strumento molto importante dell'algebra che consente di risolvere problemi di varia natura.
Una delle principali applicazioni riguarda i problemi di ripartizione.
I problemi di ripartizione sono di due tipi: semplice e composta, poi ciascuno di essi può essere a sua volta di tipo diretto oppure di tipo inverso.
Un problema di ripartizione semplice diretta va impostato quando bisogna dividere una grandezza in due o più parti che siano direttamente proporzionali a determinati numeri o fattori.
Quando bisogna suddividere una grandezza in due o più parti che siano inversamente proporzionali ad altrettanti numeri si deve risolvere un problema di ripartizione semplice inversa.
Quando una grandezza deve essere divisa in modo che esista una proporzionalità diretta o una proporzionalità inversa tra più gruppi di numeri, il problema è definito di ripartizione composta diretta oppure inversa.
Per ulteriori approfondimenti sulle grandezze proporzionali vedi qua

Proporzionalità diretta e inversa

Quando il rapporto tra due grandezze resta costante anche se queste variano si dice che esse sono direttamente proporzionali. Per effettuare una conversione tra sistemi di unità di misura utilizziamo sempre il calcolo delle proporzioni anche se a volte effettuiamo l'operazione in automatico o servendoci di un convertitore ad hoc.
A quanti metri equivalgono 3 centimetri?

Applicando la proprietà fondamentale sappiamo che un estremo è uguale al prodotto dei medi diviso l'altro estremo:

Una semplice conversione nella scala del sistema metrico decimale, da centimetri a metri, è il risultato di una proporzione:

Uso delle proporzioni nei problemi di geometria

Facciamo un esempio numerico per capire come si utilizzano le proporzioni anche per risolvere i problemi di geometria.
Consideriamo per semplicità un rettangolo del quale si conosce la somma, o la differenza, delle misure dei suoi lati e anche il rapporto tra esse.
Come si procede per determinare le due misure incognite?
Esaminiamo il caso in cui sia dato il rapporto e la somma delle misure. Indichiamo con x e y le misure incognite dei due lati.
Sia

e sia anche

.

Nota la somma delle misure e noto il rapporto che le lega dobbiamo utilizzare la proprietà del comporre:

da cui:

Una volta che è stata determinata la misura della dimensione x, si può trovare l’altra per differenza rispetto al valore noto della somma:

Se nel nostro problema viene assegnata la differenza tra le due misure e sempre il loro rapporto, dobbiamo utilizzare la proprietà dello scomporre, facendo attenzione a posizionare sempre i termini in modo tale che il minuendo sia maggiore del sottraendo. Se necessario basta applicare la proprietà dell’invertire per garantire questa condizione.
Siano assegnate le seguenti informazioni:

Nota la differenza

tra le misure e noto il rapporto che le lega dobbiamo utilizzare la proprietà dello scomporre:

da cui:

Una volta che è stata determinata la misura della dimensione x, si può trovare l’altra per somma rispetto al valore noto della differenza:

Quando sono state calcolate le misure delle due dimensioni si può procedere eventualmente al calcolo dell’area il perimetro del rettangolo

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo del perimetro di un rettangolo vedi qua