Nozioni geometria

Nozioni geometria

Il procedimento di astrazione che permette di individuare delle figure geometriche, modelli matematici ideali che ci permettono di descrivere le forme degli oggetti reali che ci circondano è la geometria: la ramificazione matematica che studia le forme geometriche.

Metodo induttivo e deduttivo

Un ragionamento induttivo è quando dopo aver riconosciuto una regolarità, quest’ultima va generalizzata; la generalizzazione che ne è scaturita, è detta congettura: una proposizione che ha buone probabilità di essere vera, ma va ancora dimostrata. Un ragionamento deduttivo - detto più precisamente assiomatico-deduttivo - è importante perché è alla base di ogni teoria matematica, e si basa su 4 punti:
1) Alcuni concetti sono detti primitivi, ciò significa che non hanno bisogno di essere ulteriormente spiegati.
2) Alcune affermazioni vanno date vere, senza dare giustificazioni: sono dette assiomi o postulati.
3)Tramite definizioni precise si definisce un nuovo oggetto della teoria, che facciano solo uso dei concetti primitivi o di altre espressioni di cui si ha già stabilito un significato.
4) Mediante ragionamenti di tipo deduttivo - detti dimostrazione - si deducono altre proposizioni dette teoremi: enunciati veri e dimostrati.

Concetti primitivi

I concetti primitivi della geometria - anche detti enti - sono il punto, la retta e il piano.
Il punto è indicato con le lettere maiuscole dell’alfabeto - A, B, C… -; il concetto di punto è suggerito da un granello di sabbia, o dalla traccia lasciata sul foglio dalla punta della matita. Le rette sono indicate con le lettere minuscole dell’alfabeto - a, b, c…-; il concetto di retta può essere suggerito da un raggio di luce o da una corda ben tesa. Il piano è indicato con le lettere dell’alfabeto greco - α, β, γ… -; il concetto di piano può essere suggerito da un foglio di carta, dal piano di un tavolo o dalla superficie di un terreno piatto esteso all’infinito.

Assiomi

Esistono due tipi di assiomi: gli assiomi di appartenenza e gli assiomi d’ordine. Gli assiomi di appartenenza sono due: assioma n° 1: ogni piano è un insieme di punti, e ogni retta è un sottoinsieme del piano; assioma n°2: ad ogni retta appartengono almeno due punti distinti; dati due punti distinti esiste una, e una sola retta alla quale appartengono entrambi i punti; data una retta nel piano, esiste almeno un punto del piano che non appartiene ad essa.
L’assioma d’ordine enuncia che i punti in una retta possono essere ordinati in modo che valgano le seguenti proprietà: dati due punti distinti A e B - tali che B è preceduto da A - esiste sempre un punto C compreso fra questi ultimi - tale che succeda A, e preceda B -.