Angoli supplementari - Esempi di geometria piana e trigonometria

In questo appunto vengono descritti in modo più approfondito gli angoli supplementari: dopo aver definito le caratteristiche di tali angoli vengono proposti degli esempi di angoli supplementari presenti nella geometria piana e nella trigonometria.

Angoli supplementari: costruzione e proprietà

Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto, cioè un angolo di 180°.
Va da sé che angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli ad esso congruenti sono congruenti.

Due angoli adiacenti (cioè tali da avere il vertice e un lato in comune, e i lati non comuni appartenenti alla stessa retta) sono sempre supplementari. Quindi per costruire il supplementare di un angolo dato è sufficiente costruire il suo adiacente prolungando uno dei suoi lati.

Ad esempio dato che ogni angolo ha due lati è possibile prolungare ognuno dei due lati per costruire l’angolo complementare, in questo caso dato che l’angolo utilizzato per costruire il complementare è lo stesso in entrambi i casi si può affermare che i due angoli complementari costruiti sono congruenti.

Facendo riferimento alla (Figura 1) riportata in allegato, possiamo dire quindi che AOB e BOC sono angoli supplementari.
Da tutte queste considerazioni appare chiaro che in qualsiasi poligono ogni angolo interno è supplementare al rispettivo angolo esterno, in quanto adiacente e con i lati non comuni appartenenti alla stessa retta (Figura 2).

Ma ovviamente due angoli possono essere supplementari anche senza essere adiacenti.

Angoli supplementari: esempi di geometria piana e trigonometria

Nella geometria piana e nella trigonometria ci sono molti teoremi o proprietà che riguardano gli angoli supplementari, in seguito sono riportati alcuni esempi:

1) Se le rette a e b, tagliate dalla trasversale t sono parallele tra loro, gli angoli coniugati interni (coppia di angoli che si trovano dalla stessa parte della retta trasversale e sono interni alle due rette parallele) e coniugati esterni (coppia di angoli che si trovano dalla stessa parte della retta trasversale e sono esterni alle due rette parallele) sono supplementari (Figura 3 in allegato).

2) Nel trapezio (cioè il quadrilatero che ha due lati paralleli) gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari.
In questo caso, infatti la base maggiore e la base minore del trapezio se prolungate costituiscono due rette parallele mentre il lato obliquo se prolungato funge da retta trasversale che taglia le due rette parallele; in questo caso quindi gli angoli adiacenti sono angoli coniugati interni e perciò sono supplementari.

3) Nel parallelogramma (cioè il quadrilatero che ha i lati opposti paralleli) gli angoli opposti sono uguali, mentre gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari.
In questo caso i lati opposti paralleli fungono da rette parallele tagliate dalla retta trasversale ovvero il lato del parallelogramma, come detto precedentemente gli angoli adiacenti sono supplementari ma ora poiché i lati che tagliano le rette parallele sono a loro volta paralleli si può affermare che gli angoli opposti sono congruenti.
Tale congruenza è dovuta al fatto che gli angoli opposti sono angoli supplementari dello stesso angolo adiacente.
Questo vale naturalmente anche per il rettangolo, il quadrato ed il rombo, in quanto sono dei particolari tipi di parallelogramma.
Nel caso di questi particolari parallelogrammi la relazione è ugualmente valida (gli angoli adiacenti sono supplementari mentre quelli opposti sono congruenti), ora dato che tali poligoni sono caratterizzati da tutti angoli retti (angoli di 90°) e dato che l’angolo supplementare di un angolo retto è a sua volta un angolo retto si può affermare che tutti gli angoli interni a questi particolari parallelogrammi sono congruenti (sono tutti angoli retti).

4) Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza quando gli angoli opposti sono supplementari.
Come abbiamo affermato in precedenza tutti i quadrati, i rettangoli e i trapezi isosceli hanno angoli che rispettano queste caratteristiche, perciò sono inscrivibili in una circonferenza, mentre rombi e parallelogrammi in genere non lo sono, sono inscrivibili in una circonferenza solo nei casi particolari in cui gli angoli rispettano tale relazione.

5) La trigonometria ci insegna inoltre che sulla circonferenza goniometrica due angoli supplementari sono opposti rispetto all'asse y delle ordinate.
Tali angoli sono caratterizzati dall’avere la stessa ordinata (ovvero la stessa distanza tra l’origine della circonferenza goniometrica e la proiezione sull’asse delle y del punto di intersezione tra il lato dell’angolo e la circonferenza goniometrica) mentre avranno opposta ascissa (ovvero opposta distanza tra l’origine della circonferenza goniometrica e la proiezione sull’asse delle x del punto di intersezione tra il lato dell’angolo e la circonferenza goniometrica).
Poiché l’ordinata si può trovare utilizzando la funzione seno mentre l’ascissa si può trovare con la funzione coseno, per loro vale dunque che:





dove x corrisponde al primo angolo considerato mentre π-x corrisponde al secondo angolo considerato.
Come detto in precedenza i due angoli sono supplementari, perciò uno può essere espresso come l’angolo piatto meno il secondo angolo.
L’uguaglianza riporta invece sotto forma di relazione matematica quanto detto in precedenza sulle relazioni tra ascisse e ordinate di tali due angoli.+

Per ulteriori approfondimenti sulle rette parallele tagliate da una trasversale vedi anche qua