Geometria analitica

Retta
- retta:
ax + by + c = 0
y = mx + q m = Δy / Δx = - b/a q = -c/b
- rette parallele:
mr = ms
- rette perpendicolari:
mr = - 1/ms
- retta passante per due punti A, B:
y = (Δy/ Δx)(x – xA) + yA
- asse di un segmento AB (su una retta r; M punto medio):
y – yM = - 1/mr (x – xM)
- distanza punto P – retta r:
d(P; r) = | axP + byp + c | / √a2 + b2
Parabola
Parabola ad asse verticale
- parabola ad asse verticale:
y = ax2 + bx + c
a = 1/(4k)
- asse:
x = - b/2a
- vertice:
V (-b/2a; -Δ/4a)
- direttrice:
y = - (1+Δ) / 4a
- fuoco:
F (-b/2a; (1-Δ)/4a)
- tangente in un punto P appartenente alla parabola:
y – yP = (2axP + b)(x – xP)

Parabola ad asse orizzontale
- parabola ad asse orizzontale:
x = ay2 + by + c
a = 1/4k
- asse:
y = - b/2a
- vertice:
V (-Δ/4a; -b/2a)
- direttrice:
x = - (1+Δ)/4a
- fuoco:
F (1-Δ/4a; -b/2a)
- tangente in un punto P appartenente alla parabola:
y – yP = (1 / 2ayP + b)
Circonferenza
- circonferenza:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
(x – xc)2 + (y – yC)2 = r2
a = 0  C appartiene a y
b = 0  C appartiene a x
c = 0  la circonferenza passa per O (0; 0)
- centro:
C (-a/2; -b/2)
- raggio:
r = 3√ a2/4 + b2/4 – c

Ellisse
- ellisse:
x2/a2 + y2/b2 = 1
- ellisse traslata:
(x – xC)2/a2 + (y – yC)2/b2 = 1
- distanza focale:
2c
- asse maggiore:
2a
- asse minore:
2b
- relazione a, b, c:
b2 = a2 – c2
- eccentricità:
e = c/a e < 1
- vertici:
V (±a; 0) V (0; ±b)
- fuochi:
F (±c; 0) F (0; ±c)
- tangente in un punto P appartenente all’ellisse:
(x xP / a2) + (y yp / b2) = 1
Iperbole
Iperbole con asse trasverso su x
- iperbole:
x2/a2 – y2/b2 = 1
- iperbole traslata:
(x – xC)2/a2 – (y – yC)2/b2 = 1
- distanza focale:
2c
- asse trasverso:
2a
- asse non trasverso
2b
- relazione a, b, c:
b2 = c2 – a2
- eccentricità:
e = c/a e > 1
- vertici:
V (±a; 0)
- fuochi:
F (±c; 0)
- asintoti:
y = ± (b/a)x
- tangente in un punto P appartenente all’iperbole:

(x xP / a2) - (y yp / b2) = 1
Iperbole con asse trasverso su y
- iperbole:
y2/b2 – x2/a2 = 1
- iperbole traslata:
(y – yC)2/b2 – (x – xC)2/a2 = 1
- distanza focale:
2c
- asse trasverso:
2b
- asse non trasverso:
2a
- relazione a, b, c:
b2 = c2 – a2
- eccentricità:
e = c/a e > 1
- vertici:
V (0; ±b)
- fuochi:
F (0; ±c)
- asintoti:
y = ± (b/a)x
- tangente in un punto P appartenente all’iperbole:
(y yp / b2) - (x xP / a2) = 1
Iperbole equilatera
- iperbole equilatera:
x2 – y2 = a2
y2 – x2 = a2
- relazione a, b, c:
c2 = 2a2
- asintoti:
y = ±x
Iperbole equilatera riferita agli asintoti
- iperbole equilatera riferita agli asintoti:
xy = k
k = a2/2
- funzione omografica:
(x – xc) (y – yc) = k
y = (ax + b)/(cx + d)
- asintoti:
x = 0; y = 0
x = -d/c; y = a/c
- vertici:
V (±a/√2; ±a/√2)
- fuochi:
F (±a; ±a)
Fasci
Fascio di rette:
- generatrici:
r1, r2
- punti base:
r1 intersezione r2
- fascio di rette:
a1x + b1y + c1 + k(a2x + b2y + c2) = 0
Fascio di circonferenze
- generatrici:
r, c
c1, c2
- punto base:
r intersezione c
c1 intersezione c2
- retta base:
(a1 – a2)x + (b1 – b2)y + c1 – c2 = 0
- fascio di circonferenze:
x2 + y2 + a1x + b1y + c1 + k(a2x + b2y + c2) = 0
x2 + y2 + a1x + b1y + c1 + k(x2 + y2 + a2x +b2y + c2) = 0
se a1 = a2 e b1 = b2 il fascio è di circonferenze concentriche, e non c’è retta base
Fascio di parabole
- fascio di parabole:
ax + by + c = k(x – n) (x – m)
y – yV = k(x – xV)2
y - a1x2 - b1y - c1 + k(y – a2x2 – b2x – c2) = 0
- generatrici:
r, (x-n)(x-m)
p1, p2
- punti base:
r intersezione (x-n)(x-m)
p1 intersezione p2
Trasformazioni piane
- simmetria centrale di sostegno S(xS; yS):
x’ = 2xS – x
y’ = 2yS – y
- simmetria assiale di rette x = h o y = k:
x’ = 2h – x
y’ = y

x’ = x
y’ = 2k – y
- traslazione di vettore v(a; b):
x’ = x + a
y’ = y + b
- dilatazione σ(a; b)
x’ = ax
y’ = by

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