Il triangolo isoscele


Un triangolo isoscele è un triangolo che ha due lati uguali o, equivalentemente, due angoli uguali.
Un triangolo isoscele ha tutta una serie di proprietà particolari; per poterle enunciare consideriamo la figura:

Il lato AB è detta base del triangolo isoscele e i due lati obliqui sono i lati uguali. Gli angoli uguali tra loro sono, invece, quelli alla base, segnati con una x in figura. Le altre proprietà del triangolo isoscele sono:

  • - l'altezza relativa alla base AB, cioè il segmento CH, divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti (l'angolo retto è AHC);
    - l'altezza CH è anche mediana, cioè divide la base AB in due segmenti congruenti AH = BH, e bisettrice dell'angolo al vertice, cioè divide l'angolo al vertice C in due angoli uguali segnati con un pallino in figura;
    - se si tracciano le altre due altezze relative ai lati obliqui, esse sono tra loro congruenti.
Osservazione: un triangolo equilatero è anche isoscele (non è vero il viceversa).

Ovviamente, per il calcolo del perimetro e dell'area nel triangolo isoscele possiamo utilizzare tutte le formule note sui triangoli, quindi

[math] A= \frac{b \cdot h }{2}\\[/math]

e
[math]P=AB+BC+CA = AB+ 2BC [/math]
poiché sono uguali i lati obliqui.
Una cosa un po' più interessante però, è che le proprietà nell'elenco, ci dicono che possiamo fare uso ad esempio del teorema di Pitagora sui triangoli AHC e BHC.
Come? Vediamolo con un esempio.

Problema: Sia ABC un triangolo isoscele come nella figura. Sappiamo che un lato obliquo misura 5 cm mentre la base misura 6 cm.
Trova l'area.

Svolgimento: Poiché so che l'altezza è anche mediana della base AB, posso dire che il segmento AH=AB:2, quindi AH=3.
A questo punto considero il triangolo AHC, so che questo è rettangolo e conosco AC=5 cm, ipotenusa, e AH=3, cateto minore.
Applico il teorema di Pitagora per trovare il cateto maggiore:

[math] CH= \sqrt{(AC^2-AH^2)}=\sqrt{(25-9)}=4.\\[/math]

A questo punto ho tutti gli elementi per trovare l'area:
[math]A=\frac{AB \cdot CH}{2}=12 cm^2[/math]
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