Triangolo isoscele proprietà ed applicazione numerica

Questo appunto di geometria tratta del triangolo isoscele. Dopo una breve panoramica di questa classe di poligoni e delle loro caratteristiche principali, si passa a descrivere il triangolo isoscele, i suoi elementi e le sue proprietà. L’appunto contiene anche un’applicazione numerica che prevede l’utilizzo del teorema di Pitagora. Una curiosità storica sul triangolo di scarico, soluzione costruttiva ideata e adottata nella civiltà micenea.

Triangoli-caratteristiche generali

Tra i poligoni il triangolo è quello con il minor numero di lati.

È una figura molto semplice ma possiede proprietà notevoli che la rendono un punto di partenza fondamentale per lo studio delle figure più complesse.Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni. I punti estremi dei tre lati si chiamano vertici del triangolo. Un vertice del triangolo viene detto opposto a un lato, se non appartiene al lato stesso. In sintesi, dunque il triangolo è un poligono avente tre angoli e quindi tre lati.

Gli angoli vengono indicati con le lettere maiuscole che si trovano nei vertici:

, oppure con le lettere dell'alfabeto greco

. Si possono anche indicare con tre lettere di cui quella centrale corrisponde al vertice, ad esempio l'angolo in B può essere indicato anche con

.
Il cappelletto sulla lettera centrale rappresenta proprio il vertice dell'angolo. Ricordiamo che per convenzione le lettere vanno lette sempre in verso antiorario. I lati sono indicati con i due estremi dei segmenti: AB, AC e BC. Per indicare la misura di un lato si usa una lettera minuscola uguale a quella del vertice opposto al lato stesso. Ad esempio, di fronte al vertice A si trova il lato BC la cui misura è indicata con a, la misura del lato AC posto di fronte al vertice B è indicata con b, ed infine la misura di AB è indicata con c. Ricordiamo sempre che in matematica così come in geometria esistono delle regole precise e vanno rispettate.
Due proprietà che riguardano gli angoli sono le seguenti:

1. In tutti i triangoli la somma degli angoli interni è pari ad un angolo piatto ovvero
   [math]180°[/math]
2. La somma degli angoli esterni di un triangolo è un angolo giro misura perciò
   [math]360°[/math]

I triangoli possono essere classificati rispetto agli angoli oppure ai lati.
Rispetto ai lati abbiamo:

• triangolo scaleno con tutti i lati di lunghezza diversa
• triangolo isoscele con due lati congruenti
• triangolo equilatero con tutti i lati congruenti

Rispetto agli angoli abbiamo:

• triangolo acutangolo con tutti gli angoli acuti
• triangolo rettangolo con un angolo retto
• triangolo ottusangolo con un angolo ottuso cioè un angolo maggiore di 90 °

Triangolo isoscele proprietà

Un triangolo isoscele ha due dati congruenti che vengono definiti lati obliqui e, facendo riferimento alla figura in alto, sono il lato AC e il lato BC. Il lato AB si chiama base, gli angoli adiacenti alla base sono congruenti e vengono detti angoli alla base.
Esaminiamo ora le altre proprietà
In ogni triangolo è possibile tracciare tre altezze tre mediane e tre bisettrici. Nel triangolo isoscele il segmento CH che unisce il vertice C con il lato AB è contemporaneamente altezza mediana e bisettrice. Ciò non si verifica negli altri due vertici, dal vertice A ad esempio, l'altezza la mediana e la bisettrice relativi al lato BC non coincideranno ma saranno tre segmenti distinti lo stesso per il vertice B.
Quindi:

• CH essendo altezza relativa alla base AB, forma in H angoli retti e perciò divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli congruenti.
• CH essendo mediana, divide la base AB in due segmenti congruenti AH uguale BH.
• CH essendo anche bisettrice dell'angolo al vertice C lo divide in due angoli congruenti segnati in figura con un pallino.

Osserviamo che, in virtù di queste proprietà un triangolo equilatero è sicuramente anche isoscele ma non è vero il viceversa.
Le mediane, le altezze, le bisettrici e gli assi di un triangolo si incontrano in punti detti notevoli, nel triangolo isoscele questi punti si trovano tutti quanti allineati sul segmento CH.

Teoremi e formule

Due sono i teoremi fondamentali:

• Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti.
• Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell'angolo al vertice è anche altezza e mediana rispetto alla base.

Da questo teorema derivano le proprietà che abbiamo elencato sopra. Passiamo ora alle formule

Perimetro del triangolo isoscele
Come per tutti i poligoni il perimetro è dato dalla somma dei lati. Per il triangolo isoscele essendo uguali i lati obliqui che indichiamo genericamente con l, è detta B la base, possiamo scrivere:

Le formule inverse del perimetro ci permettono di ricavare la base oppure la misura del lato:

Area
L’area è data sempre dal semiprodotto della base per l'altezza relativa ad essa.

Svolgiamo ora un problema nel quale andiamo a sfruttare le proprietà del triangolo viste sopra e quindi utilizziamo il teorema di Pitagora.

Applicazione numerica

Sia ABC un triangolo isoscele come nella figura. Sappiamo che un lato obliquo misura 5 cm mentre la base misura 6 cm. Calcolare l'area.
Svolgimento
Poiché so che l'altezza è anche mediana della base AB, posso dire che il segmento

, quindi AH=3.
A questo punto considero il triangolo AHC, so che questo è rettangolo e conosco l’ipotenusa AC=5 cm, e il cateto minore AH=3. Applico il teorema di Pitagora per trovare il cateto maggiore:

Ho tutti gli elementi per trovare l'area:

Triangolo di scarico

In un edificio in pietra la realizzazione di un ingresso o di una grande finestra è molto complicato perché il peso della muratura sovrastante grava sull'architrave e ne può causare il crollo. A Micene (nel 2000 a.C.) gli architetti pensarono di realizzare un'apertura triangolare sopra l'architrave, con questo stratagemma il peso superiore dell'edificio attraverso i lati obliqui del triangolo veniva scaricato sulle colonne laterali della porta cioè sugli stipiti. Nella Porta dei Leoni, l’ingresso principale della città di Micene, il triangolo di scarico è chiuso da una lastra sulla quale sono scolpiti due leoni rampanti.

Per ulteriori approfondimenti sul triangolo isoscele vedi anche qui