In questo appunto viene descritto che cosa si intenda per similitudine e omotetia, attraverso la descrizione dei concetti fondamentali, definizioni e teoremi base per comprendere appieno l'argomento. 
Indice
Similitudine
Una similitudine (definita anche come[math]\Sigma[/math]
) non è altro che un'affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti, cioè se AB, A'B' e CD, C'D' sono due coppie qualsiasi di segmenti corrispondenti, si ha la seguente relazione matematica: [math]\frac{A'B'}{AB} =\frac{C'D'}{CD} = k[/math]
Dove questi rapporti esprimono proprio il concetto di similitudine tra punti del piano, ed è dunque un rapporto che deve risultare sempre costante, andando così a confermare quanto detto prima. Formule analitiche
Anche nel caso della similitudine, si possono ottenere delle formule analitiche che descrivono la trasformazione. Si procede andando a distinguere, però, il caso in cui si abbia una similitudine diretta, e una similitudine inversa. Abbiamo le seguenti equazioni nel caso della similitudine diretta risultano essere le seguenti qui riportate:[math]\Sigma[/math]
[math]x'=ax-by+p [/math]
[math] y'=bx+ay+q [/math]
E la matrice dei coefficienti A ha determinante positivo, infatti deve risultare come segue: [math][ \mbox{det}(A) = \mbox{det}\begin{pmatrix} a&-b \\ b&a\\ \end{pmatrix} = a^2+b^2 \gt 0 ][/math]
Nel caso della similitudine indiretta, invece, abbiamo le seguenti equazioni riportate qui di seguito: [math]\Sigma [/math]
[math]x'=ax-by+p[/math]
[math]y'=bx-ay+q [/math]
E, in questo caso, la matrice A dei coefficienti ha determinante negativo, infatti abbiamo: [math] \mbox{det}(A) = \mbox{det}\begin{pmatrix} a&b \\ b&-a \\ \end{pmatrix} = -a^2-b^2 \lt 0 [/math]
Il rapporto costante tra segmenti corrispondenti è detto rapporto di similitudine, ed è dato dalla seguente formula qui riportata: [math]k = \sqrt{a^2+b^2}[/math]
Possiamo notare che le isometrie sono particolari similitudini di rapporto [math]k = 1[/math]
; in particolare, le traslazioni e le rotazioni sono similitudini dirette, mentre la simmetria assiale è una similitudine indiretta. Proprietà Qui di seguito verranno descritte le proprietà fondamentali delle similitudini. Una similitudine ha le stesse proprietà di un'affinità, e inoltre, è una trasformazione, che prevede dunque le seguenti trasformazione: - triangoli in triangoli simili;
- rette perpendicolari in rette perpendicolari;
- circonferenze in circonferenze.
- il perimetro di F' è uguale al perimetro di F moltiplicato per la costante k;
- l'area di F' è uguale all'area di F moltiplicata per il quadrato della costante k.
Omotetia
Abbiamo descritto che cosa si intendeva per similitudine, passiamo ora all'argomento successivo della lezione: "Omotetia". Consideriamo un punto C del piano e un numero reale k non nullo. Si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che ad ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P', in modo che:[math]\vec{CP'} = a \vec{CP} [/math]
In particolare, possiamo notare le seguenti cose particolari, ovvero: - se [math](a \gt 0) [/math]i punti P e P' sono dalla stessa parte rispetto al punto C;
- se [math](a \lt 0) [/math]i punti P e P' sono dalla parte opposta rispetto al punto C.
Vediamo ora cosa caratterizza un'omotetia in casi particolari. Qui di seguito un elenco dei casi su cui dobbiamo andare a porre e focalizzare la nostra attenzione: - se [math]a = 1[/math]abbiamo che ad ogni punto P del piano corrisponde se stesso, quindi, l'omotetia è un'identità; inoltre, possiamo dire che tutti i punti del piano sono punti uniti;
- se [math]a = -1[/math]ad ogni punto P del piano corrisponde il suo simmetrico rispetto al punto C, e l'omotetia si trasforma quindi in una simmetria centrale di centro C;
- se [math](| a | \gt 1)[/math]si ha una dilatazione;
- se [math](0 \lt | a | \lt 1)[/math]si ha una contrazione;
- se [math](a \le 1) [/math]l'unico punto unito è il centro C e ogni retta passante per C si trasforma in se stessa, ed è quindi unita anch'essa.
[math] \omega_{C,a}^{-1} = \omega_{C, \frac{1}{a}} [/math]
Formule analitiche
Consideriamo un punto del piano (P(x; y)) e il suo corrispondente (P'(x'; y')) derivato dall'omotetia di centro (C(x_0; y_0)). Se[math]a[/math]
è il rapporto dell'omotetia, le formule analitiche che la descrivono sono le seguenti riportate qui di seguito: [math]\omega_{C,a} [/math]
[math]x'=a(x-x_0)+x_0 [/math]
[math]y'=a(y-y_o)+y_0[/math]
In particolare, le equazioni possono essere scritte in questa forma riportata qui di seguito: [math]\omega_{C,a}[/math]
[math]x'=ax+h [/math]
[math]y'=ay+k [/math]
Dove possiamo osservare che l'omotetia è un caso particolare di similitudine; la matrice associata, infatti, è la seguente riportata qui di seguito: [math] A = \begin{pmatrix} a&0 \\ 0&a \\ \end{pmatrix} ,,,, , ,,,, \mbox{det}(A) = a^2[/math]
Poiché il determinante della matrice associata è sempre positivo, se a è diverso da zero, possiamo affermare che l'omotetia è una similitudine diretta. 
Composizione di omotetie aventi lo stesso centro
Consideriamo due omotetie di centro (C(x_0; y_0)), e di rapporti[math]k_1[/math]
e [math]k_2[/math]
; la loro composizione è data da: [math]\omega_{C,k} =\omega_{C,k_2} \ast \omega_{C, k_1}[/math]
Da cui dunque il rapporto della loro composizione è dato dal prodotto dei rapporti delle omotetie di partenza. Pertanto osserveremo la seguente situazione: [math]k = k_1 \cdot k_2[/math]
In particolare, la composizione di omotetie gode della proprietà commutativa, in quanto si ha la seguente situazione matematica: [math]\omega_{C,k} =\omega_{C,k_2} \ast \omega_{C,k_1} =\omega_{C,k_1} \ast \omega_{C,k_2}[/math]
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