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Problema sul trapezio sfruttando la similitudine tra triangoli


Di un trapezio scaleno sono note le misure di tutti i suoi lati ovvero delle due basi e dei due lati obliqui. Prolungando questi ultimi si costruisce un triangolo (ABE) di cui viene chiesto di calcolare il perimetro.
Un lato del triangolo è la base maggiore del trapezio, gli altri due lati sono formati dai lati obliqui del quadrilatero con i relativi prolungamenti, DE, CE.


[math]AE=AD+DE[/math]
[math]BE=BC+CE[/math]
Le incognite del problema sono i prolungamenti dei due lati obliqui del trapezio.
Facciamo un disegno.

Osservando la figura prendiamo in considerazione i triangoli
[math]ABE[/math]
e
[math]DCE[/math]
questi due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine in quanto hanno i tre angoli ordinatamente uguali vediamo perché.
Gli angoli di
[math]ABE[/math]
ed
[math]EDC[/math]
sono angoli corrispondenti sulle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AD. Lo stesso vale per la coppia di angoli ABE ed DCE. L'angolo in E è comune ad entrambi i triangoli. Essendo simili i triangoli hanno i lati omologhi in proporzione.
È nota la misura delle due basi del trapezio quindi conosciamo il rapporto di similitudine tra i lati dei due triangoli, rapporto che vale 10/4 ovvero 5/2
Per determinare la lunghezza del lato DE scriviamo allora la proporzione tra le coppie di lati interessati:

[math]AE:DE = AB:CD[/math]

[math](5,94+x):x=10:4[/math]

che risolta fornisce la misura del prolungamento DE:

[math]x=DE=3,96 cm[/math]

quindi il lato AE misura:

[math]AE=5,94+3,96=9,9 cm[/math]

Scriviamo ora una proporzione analoga per determinare la lunghezza del lato CE.
[math]BE:CE = AB:CD[/math]

[math](4,57+x):x=10:4[/math]

che risolta fornisce la misura del prolungamento CE:

[math]CE=3,05 cm[/math]

quindi il lato BE misura:
[math]BE=4,57+3,05=7,62 cm[/math]

A questo punto non ci resta che sommare i tre lati per determinare la misura del perimetro.
[math]2p(ABE)=AB+BE+AE[/math]
[math]2p=10 cm+9,9 cm+7,62 cm=27,52 cm[/math]
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