Funzioni - Campo d'esistenza

In questo appunto di analisi matematica sono descritte le regole per la ricerca del campo di esistenza, o dominio, di una funzione reale di variabile reale

.
Prima di elencare le regole da seguire per la ricerca del dominio di una funzione, proponiamo una ricapitolazione generale sulle definizioni di base, sulle caratteristiche di alcune funzioni e sulla loro classificazione in algebriche e trascendenti.

Brevi richiami sulle funzioni

Una funzione è una legge di corrispondenza, di qualsiasi natura tra due insiemi che associa ad ogni elemento del primo insieme uno e un solo elemento del secondo.
L’elemento y che è associato ad un particolare elemento x si chiama immagine di x; ogni elemento x di cui y è l'immagine si dice controimmagine.
Quando i due insiemi sono sottoinsiemi di

si parla di funzione reale di variabile reale:

Per le funzioni reali tale legge di corrispondenza è espressa mediante un’equazione della forma y=f(x).
Questa equazione nel piano cartesiano descrive una curva

che rappresenta l'insieme dei punti del piano che soddisfano l'equazione.

La costruzione del grafico si può effettuare per punti assegnando a

alcuni valori e determinando i corrispondenti valori di

.
L’insieme a cui appartengono i valori della variabile indipendente x prende il nome di dominio della funzione.
Il dominio naturale della funzione è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. Il dominio naturale viene anche chiamato campo dì esistenza o insieme di definizione.
Si definisce codominio della funzione, l’insieme delle immagini.

Funzione iniettiva, suriettiva e biunivoca

Una funzione da A a B si dice iniettiva se ogni elemento dell’insieme B è immagine al più di un elemento di A.
Se una funzione è iniettiva a due elementi distinti del dominio corrispondono sempre due elementi distinti del condominio ma non è detto che l’insieme B di arrivo coincida con il codominio
Per dimostrare che una funzione non è iniettiva basta verificare che una retta parallela all’asse delle ascisse interseca il grafico della funzione in più di un punto.

Funzione suriettiva
Una funzione da A a B è suriettiva quando ogni elemento di B e immagine di almeno un elemento di A.
Quando diciamo almeno, intendiamo che un elemento di B può essere l’immagine di più elementi di A, se una funzione è suriettiva l’insieme di arrivo B coincide con il codominio.

Funzione biunivoca
Una funzione da A a B è biunivoca quando è sia iniettiva sia suriettiva.
Una funzione biunivoca viene anche chiamata corrispondenza biunivoca fra i due insiemi, ogni elemento di A è l’immagine di uno e un solo elemento di B e viceversa.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni biunivoche vedi qua

Classificazione delle funzioni reali

Le funzioni reali di variabili reali si possono classificare in base alla tipologia dell’espressione di f(x), ovvero dell’equazione associata alla funzione.
Ci sono due gruppi di funzioni:

• funzioni algebriche
• funzioni trascendenti

Nelle funzioni algebriche il valore dell'immagine y si ottiene mediante un numero finito di operazioni algebriche:

• le 4 operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione
• elevamento a potenza
• estrazione di radice

Le algebriche comprendono le:

• Funzioni razionali intere se l’equazione f(x) è un polinomio
• Funzioni razionali fratte Se l’equazione f(x) è una frazione algebrica e quindi la variabile indipendente si trova anche al denominatore
• Funzioni irrazionali se in f(x) ci sono operazioni di estrazione di radice di espressioni nella variabile x

Nelle funzioni trascendenti oltre alle operazioni indicate per le funzioni algebriche compaiono altri operatori che agiscono sulla variabile indipendente.
Le funzioni trascendenti comprendono:

• la funzione logaritmica
• la funzione esponenziale
• le funzioni goniometriche e le goniometriche inverse

Per ulteriori approfondimenti sull’levamento a potenza vedi qua

Campo di esistenza delle funzioni algebriche

Il campo di esistenza di una funzione o condizioni di esistenza sono l’insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente

per ottenere la variabile dipendente

.
La prima regola per la ricerca del campo di esistenza è quella di individuare la natura della funzione e capire bene a quale gruppo appartiene ovvero se si tratta di una funzione algebrica oppure una funzione trascendente.
Le condizioni da imporre sono infatti legate proprio alla natura della funzione.

Funzioni razionali intere
Le funzioni razionali intere sono in pratica dei polinomi, per esse il campo di esistenza è costituito da tutto l’insieme dei numeri reali.

Se consideriamo un generica funzione polinomio y=P(x), qualunque valore scegliamo per la variabile indipendente x ed eseguiamo tutte le operazioni indicate nel polinomio otteniamo sempre un valore

.
espressione algebrica di un polinomio infatti è possibile inserire qualunque valore di x
Ad esempio per la funzione

,

.

Funzioni razionali fratte
Il campo d’esistenza di una funzione razionale fratta è dato da tutto

Funzioni irrazionali
Nelle funzioni irrazionali compaiono operazioni di estrazione di radice di espressioni che contengono la variabile x, sono funzioni del tipo:

Le condizioni per la ricerca del dominio dipendono dall’indice della radice ovvero se si tratta di un numero pari o un numero dispari.
Se l’indice di radice è pari abbiamo una limitazione al segno del radicando, occorre che f(x) sia maggiore o uguale a 0, perciò il campo d’esistenza terrà conto di questa condizione. Bisogna risolvere la disequazione:

Se l’indice è dispari, non c’è nessuna limitazione e il campo d’esistenza dipende solo dalla natura di f(x).

Esempi di irrazionali intere

Radice quadrata

Se la funzione è irrazionale fratta ad indice dispari, bisogna considerare la regola della razionale fratta ovvero anche in questo caso il denominatore va posto diverso da zero.

Funzione irrazionale fratta con indice dispari

La condizione da porre per la ricerca del dominio è:

il campo di esistenza è:

Funzione irrazionale fratta con indice pari

Per l’esistenza della funzione è necessario che il radicando sia non nullo:

il campo di esistenza è:

Campo di esistenza delle funzioni trascendenti

, e assume valori in tutto

. Per determinare il campo di esistenza di una funzione logaritmica dobbiamo porre sempre l’argomento maggiore di zero. Naturalmente la disequazione può essere più complessa a seconda di come sia fatta la funzione argomento. Vediamo qualche esempio.

Funzione logaritmica con l’argomento intero

Funzione logaritmica con l’argomento fratto

Funzione esponenziale
La funzione esponenziale elementare, con base positiva e diversa da uno:

è definita per ogni valore reale di x.
Quando l’esponente è a sua volta una funzione di x, bisogna valutare caso per caso come abbiamo visto per le algebriche.
In generale quando le funzioni sono composte le regole per la ricerca del dominio devono interessare tutte le tipologie di funzioni che sono presenti nell’equazione generale. L’esponenziale esiste dove esiste il suo esponente.

Non è definita per x=0.
Il suo campo di esistenza è tutto

tranne zero.

Funzioni goniometriche e loro inverse

L’insieme d’esistenza delle funzioni goniometriche

e

è dato dall’insieme di tutti i numeri reali, mentre per la funzione

occorre escludere dall’insieme dei numeri reali i multipli di

.
Le funzioni goniometriche inverse di y=sin x è y=cos x, che sono rispettivamente la funzione arcoseno

, e la funzione arcocoseno

hanno per campo di esistenza l’intervallo chiuso e limitato di estremi -1 è 1:

.
La funzione inversa della Funzione tangente:

, che è

esiste per ogni valore reale del suo argomento.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni goniometriche seno e coseno vedi qua