Funzioni - limiti

Dato un intorno in un punto X , talvolta bisogna considerare soltanto la parte

0

dell’intorno che sta a destra di X oppure quella che sta a sinistra. Ad esempio,

0

nell’intorno ]0;2[ del punto 1, la parte destra di 1 è ]1;2[, la parte sinistra di 1 è ]0;1[.

+

In generale, dato un numero δ Є R , chiamiamo:

Intorno destro di X l’intervallo ]X ; X + δ [

 0 0 0

Intorno sinistro di X l’intervallo ]X - δ ; X [

 0 0 0

Punto isolato

Definizione : Se A è un sottoinsieme di R e X è un punto di A, si dice che X è un

0 0

punto isolato di A se esiste un intorno di X che non contiene elementi di A diversi da

0

X .

0

Se A contiene un numero finito di punti, questi sono tutti isolati.

Punto di accumulazione

C

Definizione : Se A R, X Є R, si dice che X è punto di accumulazione per A se

0 0

ogni intorno di X contiene infiniti punti di A diversi da X .

0 0

Ogni punto di un intervallo è di accumulazione per l’intervallo stesso. Anche gli

estremi dell’intervallo sono suoi punti di accumulazione.

Limite finito di una funzione in un punto

Definizione f

: Sia X appartenente a un intervallo [a; b] e sia una funzione definita in

0 f(x)

ogni punto di [a; b] tranne al più X . Si dice che la funzione ha per limite il numero

0 ❑

( =l

lim f x)

l x

reale per che tende a X e si scrive

0 x→x 0

Quando comunque si scelga un numero reale positivo ε si può determinare un intorno

I

completo di X tale che risulti

0

| |

( )−l < ¿

f x ∩

I

ε per ogni x appartenente a [a; b], diverso da X .

0

Limite destro e limite sinistro di una funzione in un punto

Il limite destro ❑

( ) =l

x → x 0+¿ f x

Il limite destro di una funzione viene indicato col simbolo .

¿

lim

¿

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola

| |

( )−l

f x x

¿

differenza che la disuguaglianza ε deve essere verificata per ogni del

dominio appartenente a un intorno destro di X , ossia a un intorno del tipo ]X ; X + δ

0 0 0

[.

Il limite sinistro ❑

( =l

x → x 0−¿ f x)

Il limite sinistro di una funzione viene indicato col simbolo .

¿

lim

¿

Anche per il limite sinistro valgono le stesse considerazioni fatte per il limite destro,

| |

( )−l < ¿

f x x

con la sola differenza che ε deve essere verificata per ogni del dominio

appartenente a un intorno sinistro di X , ossia un intorno del tipo ]X - δ ; X [.

0 0 0

Il limite infinito di una funzione in un punto

∞

Limite + di una funzione in un punto

Definizione f

: Sia una funzione definita in un intervallo [a; b], escluso il punto X . Si

0

∞

f(x) x

dice che la funzione tende a + per che tende a X e si scrive

0

❑

( ) =¿

lim f x ∞

+

x→x 0 m

Quando per ogni numero reale positivo si può determinate un intorno completo I di

¿ m ∩

x I

X tale che risulti f(x) per ogni appartenente a [a; b], diverso da X .

0 0

∞

Limite - di una funzione in un punto

Definizione f

: Sia una funzione definita in un intervallo [a; b], escluso il punto X . Si

0

∞

f(x) x

dice che la funzione tende a - per che tende a X e si scrive

0

❑

( ) =¿

lim f x ∞

-

x→x 0 m

Quando per ogni numero reale positivo si può determinate un intorno completo I di

←m ∩

x

X tale che risulti f(x) per ogni appartenente a I [a; b], diverso da X .

0 0

Il limite finito di una funzione per x che tende a più o a meno infinito

∞

Limite finito di una funzione per x che tende a +

Definizione f(x) l x

: Si dice che una funzione tende al numero reale per che tende a +

∞ e si scrive

❑

( ) =¿

lim f x l

x →+∞ ¿ 0

c

Se per ogni fissato ε reale positivo, è possibile trovare un numero reale tale che

| |

( )−l < ¿ ¿

f x c

ε per ogni x ∞

Limite finito di una funzione per x che tende a - ∞

Definizione f(x) l x

: Si dice che una funzione ha il limite reale per che tende a - e

si scrive ❑

( ) =¿

lim f x l

x →−∞ ¿ ¿

0 0

Se per ogni ε fissato è possibile trovare un numero reale c tale che risulti

| |

( )−l < ¿ ←c

f x ε per ogni x

Limite “più o meno infinito” di una funzione per x che tende a più o

meno infinito

∞ ∞

Limite + di una funzione per x che tende a + ∞ ∞

Definizione f(x) x

: Si dice che la funzione ha per limite + per che tende a +

e si scrive

❑

( ) =¿

lim f x ∞

+

x →+∞ m

Quando per ogni numero reale positivo si può determinare un corrispondente

c

numero reale positivo tale che risulti

¿ ¿

m c

f(x) per ogni x .

∞ ∞

Limite + di una funzione per x che tende a - ∞ ∞

Definizione f(x) x

: Si dice che la funzione ha per limite + per che tende a - e

si scrive ❑

( ) =¿

lim f x ∞

+

x →−∞ m

Quando per ogni numero reale positivo si può determinare un corrispondente

c

numero reale positivo tale che risulti

¿ ¿−c

m

f(x) per ogni x .

∞ ∞

Limite - di una funzione per x che tende a + ∞ ∞

Definizione f(x) x

: Si dice che la funzione ha per limite - per che tende a + e

si scrive ❑

( ) =¿

lim f x ∞

-

x →+∞ m

Quando per ogni numero reale positivo si può determinare un corrispondente

c

numero reale positivo tale che risulti

¿−m ¿ c

f(x) per ogni x .

∞ ∞

Limite - di una funzione per x che tende a - ∞ ∞

Definizione f(x) x

: Si dice che la funzione ha per limite - per che tende a - e

si scrive ❑

( ) =¿

lim f x ∞

-

x →−∞ m

Quando per ogni numero reale positivo si può determinare un corrispondente

c

numero reale positivo tale che risulti

¿−m ¿−c

f(x) per ogni x .