Insiemi

Formulario di matematica

G. Sammito, A. Bernardo, Insiemi

F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi

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2. Insiemi

2.1 Generalità

Un insieme è una collezione distinguibile di oggetti, detti elementi dell'insieme.

∈

A a A

Quando un elemento appartiene ad un insieme si scrive.

a ∉

Nel caso in cui sia un elemento non appartenente all'insieme si scrive.

A

a a A

Gli insiemi finiti si possono rappresentare elencando uno per uno tutti gli elementi contenuti.

Si scriverà

È costituito dagli interi compresi fra e

Ad esempio se l'insieme A = {1,2,3,4,5

}

A 1 5 ∅

∅ = {}

e si indica con. Si ha

L'insieme che non contiene nessun elemento si chiama insieme vuoto

2.2 Relazioni e operazioni tra insiemi

La relazione di inclusione è una relazione che sussiste fra due insiemi quando ogni elemento del primo

insieme appartiene anche al secondo. ⊆ ⊇

∀ ∈ ⇒ ∈, allora si scrive (o alternativamente), e si dice che è

In simboli, se A B B A A

a A a B

di.

un sottoinsieme B B

A

Figura 2.1. A sottoinsieme di B

fra due insiemi quando ogni elemento del primo insieme appartiene anche

Si parla di inclusione stretta

al secondo, ma i due insiemi sono diversi, ovvero esistono elementi del secondo insieme non

appartenenti al primo. ≠ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊃

∀ ∈ ⇒ ∈

Se e, allora si scrive

, ossia se tale che (), e si dice

a A a B A B b B b A A B B A

è un di.

che sottoinsieme proprio

A B

e sono insiemi uguali se contengono esattamente gli stessi elementi. In formule

Due insiemi uguali

A B ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈ ⇔ ⊆ ∧ ⊆

= ()

A B x x A x B oppure A B A B B A

=

L'unione tra insiemi è un operatore fra due insiemi, e, che restituisce l'insieme contenente sia gli

L' A B

sia gli elementi di. La definizione di unione insiemistica si appoggia sull'operatore

elementi di A B ∨:

logico OR (inclusivo), il cui simbolo è ∪ ∈ ∨ ∈

= {:}

A B a a A a B 1

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A ∪

A B

B

Figura 2.2. In grigio A unito B

A B

Intersezione

L' tra insiemi è un operatore fra due insiemi, e, che restituisce l'insieme degli

A B

che a. L'operatore intersezione viene definito

elementi appartenenti contemporaneamente sia ad ∧:

formalmente facendo uso dell'operatore logico AND, il cui simbolo è

∩ ∈ ∧ ∈

A B = {

a : a A a B

}

A B ∩

A B

Figura 2.3. In grigio A intersezione B

Differenza fra due insiemi A e B, restituisce l'insieme contenente gli elementi che appartengono ad

La

A e che contemporaneamente non appartengono a B.

∈ ∧ ∉

A \ B = {

a : a A a B

}

A A \ B

B

Figura 2.4. In grigio l’insieme differenza tra A e B

Differenza simmetrica fra due insiemi coincide con l'insieme degli elementi appartenenti ad uno

La

dei due insiemi di partenza ma non ad entrambi contemporaneamente. Pertanto la differenza

simmetrica è, per certi versi, analoga all'operatore OR esclusivo.

Δ ∪ ∩

A B = ( A B ) \ ( A B ) 2

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A Δ

A B

B

Figura 2.5. In grigio la differenza simmetrica tra A e B