Definizione di logaritmo ed introduzione alla funzione logaritmica

In questo appunto viene data la definizione di logaritmo e vengono forniti vari esempi di risoluzione di logaritmi. Il testo fornisce una una spiegazione chiara e puntuale sul procedimento che porta ad effettuare determinate scelte di risoluzione e sulle modalità applicate per giungere al risultato finale.

Definizione di Logaritmo

Il logaritmo in base

Il logaritmo può essere quindi definito come: l'esponente che bisogna dare alla base

Prima di vedere alcuni esempi concreti di calcoli di logaritmi, bisogna ricordare che il

• [math]b>0[/math]
• [math]a>0\ \ e\ \ a≠1[/math]

Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi vedi anche qua

Esempi pratici sui calcoli di logaritmi

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione dei logaritmi vedi anche qua

• Esempio 1
Proviamo a calcola il logaritmo di:
[math]\log_{7}49[/math]

Come si fa a rispondere? Basta ricordarsi che cos'è il logaritmo: il logarito è l'esponente che devo dare alla base per ottenere come risultato l'argomento, quindi, in questo caso, devo chiedermi a quale valore bisogna elevare

[math]7[/math]
per ottenere come argomento
[math]49[/math]
.

[math]49[/math]
è
[math]7[/math]
elevato alla seconda, perciò ne deduco che:
[math]\log_{7}49=2[/math]
.
• Esempio 2
Come secondo esempio proviamo a calcolare il seguente logaritmo:
[math]\log_{2} \frac{1}{2}[/math]

Quale quesito dovremmo porci? Dovremmo chiederci:"A cosa bisogna elevare

[math]2[/math]
che sarebbe la nostra base per ottenere come argomento
[math]\frac{1}{2}[/math]
?"

E qui, se ci pensate bene, visto che

[math]\frac{1}{2}[/math]
non è altro che
[math]2^{-1}[/math]
, ne deduciamo che il risultato di tale logaritmo è:
[math]\log_{2} \frac{1}{2}=-1[/math]
• Esempio 3
Ora proviamo a calcolare il logaritmo di:
[math]\log_{2} \frac{1}{\sqrt{8}}[/math]

Dobbiamo ancora una volta chiederci:"A cosa dobbiamo elevare la base

[math]2[/math]
per ottenere come argomento
[math]\frac{1}{\sqrt{8}}[/math]
?"

In questo caso la risposta può risultare non immediata come lo è stata nei casi precedenti, quindi procediamo riscrivendo:

[math]\frac{1}{\sqrt{8}}[/math]
in una forma più semplice, per fare questo dobbiamo avvalerci delle proprietà delle potenze. Quindi:
[math]\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2^{3}}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}=2^{-\frac{3}{2}}[/math]

dopo questo passaggio possiamo concludere che:

[math]\log_{2} \frac{1}{\sqrt{8}}=-\frac{3}{2}[/math]



• Esempio 4
Con il prossimo esempio andamo a dimostrare che se
[math]b[/math]
non è una potenza ad esponente razionale di
[math]a[/math]
allora
[math]\log_{a}b[/math]
è un numero irrazionale.
Ma cosa vuol dire questa frase? Proviamo a capirlo nel concreto calcolando il logaritmo di:
[math]\log_{2}3[/math]

La domanda da cui partiamo è sempre la stessa: "A quale esponente dobbiamo elevare

[math]2[/math]
per ottenere come risultato
[math]3[/math]
?". Capite però che, in questo caso, il
[math]3[/math]
non è "imparentato" con il
[math]2[/math]
, voglio dire che, anche utilizzando le proprietà delle potenze, come abbiamo fatto in precedenza, non riusciremo mai ad avere
[math]3[/math]
nella forma di
[math]2[/math]
elevato ad una certa frazione. Di conseguenza, possiamo affermare che il risultato di questo logaritmo è un numero irrazionale.

I numeri irrazioneali sono numeri decimali illimitati non periodici, che non possono essere espressi sotto forma di frazione. La risoluzione di questo logaritmo può essere effettuata utilizzando un calcolatore o una calcolatrice e riportando, come risultato, alcune delle cifre decimali individuate:

[math]\log_{2}3 \approx 1,584962500721156...[/math]