Definizione di logaritmo ed introduzione alla funzione logaritmica

In questo appunto viene data la definizione di logaritmo e vengono forniti vari esempi di risoluzione di logaritmi. Il testo fornisce una una spiegazione chiara e puntuale sul procedimento che porta ad effettuare determinate scelte di risoluzione e sulle modalità applicate per giungere al risultato finale.

Definizione di Logaritmo

Per capire che cos'è un logaritmo e sopratutto a cosa serve, consideriamo subito una situazione concreta e supponiamo di dover risolvere l'equazione

e diciamo, inoltre, che

e

sono due numeri reali noti, quindi due valori che conosciamo.

Arrivati a questo punto la domanda che ci poniamo è: come facciamo a trovare la

dall'esponente? Per effettuare questa operazione abbiamo bisogno del logaritmo.

Il logaritmo in base

di

viene scritto matematicamente con la formula:

Il logaritmo può essere quindi definito come: l'esponente che bisogna dare alla base

Prima di vedere alcuni esempi concreti di calcoli di logaritmi, bisogna ricordare che il

è un oggetto definito solo per valori positivi dell'argomento, quindi dobbiamo porre come condizioni:

• [math]b>0[/math]
• [math]a>0\ \ e\ \ a≠1[/math]

Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi vedi anche qua

Esempi pratici sui calcoli di logaritmi

Vediamo ora alcuni semplici esempi di calcoli di logaritmi che ci permettono di capire il ragionamento dietro ad ogni possibile modalità di risoluzione.

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione dei logaritmi vedi anche qua

• Esempio 1
Proviamo a calcola il logaritmo di:
[math]\log_{7}49[/math]

Come si fa a rispondere? Basta ricordarsi che cos'è il logaritmo: il logarito è l'esponente che devo dare alla base per ottenere come risultato l'argomento, quindi, in questo caso, devo chiedermi a quale valore bisogna elevare

[math]7[/math]
per ottenere come argomento
[math]49[/math]
.

[math]49[/math]
è
[math]7[/math]
elevato alla seconda, perciò ne deduco che:
[math]\log_{7}49=2[/math]
.
• Esempio 2
Come secondo esempio proviamo a calcolare il seguente logaritmo:
[math]\log_{2} \frac{1}{2}[/math]

Quale quesito dovremmo porci? Dovremmo chiederci:"A cosa bisogna elevare

[math]2[/math]
che sarebbe la nostra base per ottenere come argomento
[math]\frac{1}{2}[/math]
?"

E qui, se ci pensate bene, visto che

[math]\frac{1}{2}[/math]
non è altro che
[math]2^{-1}[/math]
, ne deduciamo che il risultato di tale logaritmo è:
[math]\log_{2} \frac{1}{2}=-1[/math]
• Esempio 3
Ora proviamo a calcolare il logaritmo di:
[math]\log_{2} \frac{1}{\sqrt{8}}[/math]

Dobbiamo ancora una volta chiederci:"A cosa dobbiamo elevare la base

[math]2[/math]
per ottenere come argomento
[math]\frac{1}{\sqrt{8}}[/math]
?"

In questo caso la risposta può risultare non immediata come lo è stata nei casi precedenti, quindi procediamo riscrivendo:

[math]\frac{1}{\sqrt{8}}[/math]
in una forma più semplice, per fare questo dobbiamo avvalerci delle proprietà delle potenze. Quindi:
[math]\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2^{3}}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}=2^{-\frac{3}{2}}[/math]

dopo questo passaggio possiamo concludere che:

[math]\log_{2} \frac{1}{\sqrt{8}}=-\frac{3}{2}[/math]



• Esempio 4
Con il prossimo esempio andamo a dimostrare che se
[math]b[/math]
non è una potenza ad esponente razionale di
[math]a[/math]
allora
[math]\log_{a}b[/math]
è un numero irrazionale.
Ma cosa vuol dire questa frase? Proviamo a capirlo nel concreto calcolando il logaritmo di:
[math]\log_{2}3[/math]

La domanda da cui partiamo è sempre la stessa: "A quale esponente dobbiamo elevare

[math]2[/math]
per ottenere come risultato
[math]3[/math]
?". Capite però che, in questo caso, il
[math]3[/math]
non è "imparentato" con il
[math]2[/math]
, voglio dire che, anche utilizzando le proprietà delle potenze, come abbiamo fatto in precedenza, non riusciremo mai ad avere
[math]3[/math]
nella forma di
[math]2[/math]
elevato ad una certa frazione. Di conseguenza, possiamo affermare che il risultato di questo logaritmo è un numero irrazionale.

I numeri irrazioneali sono numeri decimali illimitati non periodici, che non possono essere espressi sotto forma di frazione. La risoluzione di questo logaritmo può essere effettuata utilizzando un calcolatore o una calcolatrice e riportando, come risultato, alcune delle cifre decimali individuate:

[math]\log_{2}3 \approx 1,584962500721156...[/math]