LOGARITMI: DEFINIZIONE DI LOGARITMO ED INTRODUZIONE ALLA FUNZIONE LOGARITMICA

Per capire che cos'è un logaritmo e sopratutto a cosa serve, consideriamo subito una situazione concreta e supponiamo di dover risolvere l'equazione

[math]a^{x}=b[/math]
e supponiamo inoltre che
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
sono due numeri reali noti, quindi due cose che conosciamo. E la domanda quindi è: Come facciamo a trovare la
[math]x[/math]
? Come facciamo a risolvere questa equazione liberando la
[math]x[/math]
dall'esponente? L'idea è per fare questo ci serve proprio il logaritmo.

Per definizione infatti logaritmo in base

[math]a[/math]
di
[math]b[/math]
che si scrive:


[math]a^{x}=b \to x=\log_{a}b[/math]


E' proprio l'esponente che bisogna dare alla base

[math]a[/math]
per ottenere come risultato
[math]b[/math]
. Questa definizione, è particolarmente importante ed è una delle cose che ritornano spesso nel corso degli studi, e quindi vale la pena sicuramente memorizzarla se non altro perché tramite questa, si riescono a risolvere al volo alcune semplici equazione elementari.

Prima di vedere alcuni esempi concreti di calcoli di logaritmi, bisogna ricordare che il

[math]\log_{a}b[/math]
è un oggetto definito solo per valori positivi dell'argomenti, quindi vogliamo che
[math]b>0[/math]
, e per valori positivi e diversi da
[math]1[/math]
della base, quindi vogliamo che
[math]a>0\ \ e\ \ a≠1[/math]
(la base deve essere positiva e diversa da
[math]1[/math]
).

Vediamo ora alcuni semplici esempi di calcoli di logaritmi. Proviamo ad esempio a calcola il logaritmo di:


[math]\log_{7}49[/math]


Come si fa a rispondere? Basta ricordarsi che cos'è il logaritmo. Quindi dicevamo prima, è l'esponente che devo dare alla base per ottenere come risultato l'argomento. Quindi in questo caso devo chiedermi:"A cosa bisogna elevare

[math]7[/math]
per ottenere come argomento
[math]49[/math]
?"
E visto che
[math]49[/math]
è
[math]7[/math]
elevato alla seconda, ne deduco che:

[math]\log_{7}49=2[/math]
.

E se volessimo calcolarci il logaritmo di:


[math]\log_{2} \frac{1}{2}[/math]


Quale quesito dovremmo porci? Dovremmo chiederci:"A cosa bisogna elevare

[math]2[/math]
che sarebbe la nostra base per ottenere come argomento
[math]\frac{1}{2}[/math]
?"

E qui se ci pensate bene, visto che

[math]\frac{1}{2}[/math]
non è altro che
[math]2^{-1}[/math]
, ne deduciamo che il logaritmo di:

[math]\log_{2} \frac{1}{2}=-1[/math]


Ora proviamo a calcolarci il logaritmo di:


[math]\log_{2} \frac{1}{\sqrt{8}}[/math]


Dobbiamo quindi chiederci:"A cosa dobbiamo elevare la base

[math]2[/math]
per ottenere come argomento
[math]\frac{1}{\sqrt{8}}[/math]
?"

E capite che la risposta è un po' meno immediata dei casi precedenti, e quindi dobbiamo con calma riscriverci questo

[math]\frac{1}{\sqrt{8}}[/math]
in maniera un pochino più comoda. E per far questo dobbiamo giocare un po' con le proprietà delle potenze. Quindi:


[math]\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2^{3}}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}=2^{-\frac{3}{2}}[/math]


E con questo si conclude che:


[math]\log_{2} \frac{1}{\sqrt{8}}=-\frac{3}{2}[/math]


A questo punto è fondamentale precisare che se

[math]b[/math]
non è una potenza ad esponente razionale di
[math]a[/math]
allora
[math]\log_{a}b[/math]
è un numero irrazionale.


Che cosa vuol dire questa frase, proviamo a capirlo meglio con esempio. Se provassimo a calcolare il logaritmo di:


[math]\log_{2}3[/math]


Dovremmo chiederci:"A quale esponente dobbiamo elevare

[math]2[/math]
per ottenere come risultato
[math]3[/math]
?" Capite che però che il
[math]3[/math]
non è imparentato con il
[math]2[/math]
, che cosa voglio dire, voglio dire che anche utilizzando le proprietà delle potenze come abbiamo fatto in precedenza, non riusciremo mai
[math]3[/math]
come
[math]2[/math]
elevato ad una certa frazione. E di conseguenza il risultato di questo logaritmo non potrà essere una frazione ma verrà un numero irrazionale, quindi qualcosa con infinite virgole dopo la virgola. Logicamente se uno volesse sapere qual è questo numero, si può procedere facendolo stimare da un calcolatore o da una calcolatrice e vedete che le prime cifre che compongono la sua scrittura decimale sono quelle che vi riporto:


[math]\log_{2}3 \approx 1,584962500721156...[/math]

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