Dalla geometria analitica sappiamo che l'equazione della curva:
[math] x^2-y^2 = 1 [/math]
[math] \cos ^2 (x) + \sin^2 (x) = 1 [/math]
. Introduciamo ora le funzioni iperboliche, che sono coseno iperbolico e seno iperbolico, che soddisfano una relazione molto simile ma che ricorda l'equazione, appunto, di un'iperbole:[math]cosh^2(x)-sinh^2(x) = 1 [/math]
Le funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica, cotangente iperbolica, secante iperbolica, cosecante iperbolica) sono definite nel modo seguente
[math]\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \ \ \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}[/math]
[math]\text{tgh}(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \ \ \text{cotgh}(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}[/math]
[math]\text{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} \ \ \text{cosech}(x) = \frac{1}{\sinh(x)}[/math]
Relazione fondamentale
[math]\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1[/math]
Simmetrie
[math]\sinh(-x) = - \sinh(x) \ \ \cosh(-x) = \cosh(x) \ \ \text{tgh}(-x) = - \text{tgh}(x)[/math]
Formule di addizione
[math]\sinh(x + y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y)[/math]
[math]\sinh(x - y) = \sinh(x) \cosh(y) - \cosh(x) \sinh(y)[/math]
[math]\cosh(x + y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y)[/math]
[math]\cosh(x - y) = \cosh(x) \cosh(y) - \sinh(x) \sinh(y)[/math]
[math]\text{tgh}(x + y) = \frac{\text{tgh}(x) + \text{tgh}(y)}{1 + \text{tgh}(x) \text{tgh}(y)}[/math]
[math]\text{tgh}(x - y) = \frac{\text{tgh}(x) - \text{tgh}(y)}{1 - \text{tgh}(x) \text{tgh}(y)}[/math]
Formule di duplicazione
[math]\sinh(2x) = 2 \sinh(x) \cosh(x)[/math]
[math]\cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = 2 \cosh^2(x) - 1 = 1 + 2 \sinh^2(x)[/math]
[math]\text{tgh}(2x) = \frac{2 \text{tgh}(x)}{1 + \text{tgh}^2(x)}[/math]
Formule di bisezione
[math]\sinh^2(x) = \frac{\cosh(2x) - 1}{2} \ \ \cosh^2(x) = \frac{\cosh(2x) + 1}{2} \ \ \text{tgh}(x) = \frac{\cosh(2x) - 1}{\sinh(2x)} = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + 1}[/math]
Formule di prostaferesi
[math]\sinh(p) + \sinh(q) = 2 \sinh(\frac{p+q}{2}) \cosh(\frac{p-q}{2})[/math]
[math]\sinh(p) - \sinh(q) = 2 \cosh(\frac{p+q}{2}) \sinh(\frac{p-q}{2})[/math]
[math]\cosh(p) + \cosh(q) = 2 \cosh(\frac{p+q}{2}) \cosh(\frac{p-q}{2})[/math]
[math]\cosh(p) - \cosh(q) = 2 \sinh(\frac{p+q}{2}) \sinh(\frac{p-q}{2})[/math]
Formule parametriche
[math]\sinh(x) = \frac{2 \text{tgh}(\frac{x}{2})}{1 - \text{tgh}^2(\frac{x}{2})} \ \ \cosh(x) = \frac{1 + \text{tgh}^2(\frac{x}{2})}{1 - \text{tgh}^2(\frac{x}{2})} \ \ \text{tgh}(x) = \frac{2 \text{tgh}(\frac{x}{2})}{1 + \text{tgh}^2(\frac{x}{2})}[/math]
Funzioni inverse
Le funzioni inverse delle funzioni iperboliche considerate sono rispettivamente settore seno iperbolico, settore coseno iperbolico, settore tangente iperbolica, settore cotangente iperbolica, settore secante iperbolica, settore cosecante iperbolica
[math]\text{settsinh}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \ \ \text{settcosh}{x} = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})[/math]
[math]\text{setttgh}(x) = \frac{1}{2} \log(\frac{1 + x}{1 - x}) \ \ \text{settcotgh}(x) = \frac{1}{2} ln(\frac{x+1}{x-1})[/math]
[math]\text{settsech}(x) = ln(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}) \ \ \text{settcosech}{x} = ln(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x})[/math]
I logaritmi si intendono in base
[math]e[/math]
.
Funzioni iperboliche e goniometriche con argomento complesso
[math]\cosh(i x) = \cos(x)[/math]
[math]\sinh(i x) = i \cdot \sin(x)[/math]
[math]\text{tgh}(i x) = i \cdot \text{tg}(x)[/math]
[math]\sinh(x) = - i \cdot \sin(i x)[/math]
[math]\cosh(x) = \cos(i x)[/math]
[math]\text{tgh}(x) = -i \cdot \text{tg}(i x)[/math]
[math]\text{settsinh}(x) = i \cdot \text{arcsin}(i x)[/math]
[math]\text{settcosh}(x) = i \cdot \text{arccos}(i x)[/math]
[math]\text{setttgh}(x) = i \cdot \text{arctg}(- i x)[/math]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
Appunto