Le funzioni iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica, cotangente iperbolica, secante iperbolica, cosecante iperbolica) sono definite nel modo seguente
[math]\\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} qquad \\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}[/math]
[math]\text{tgh}(x) = \frac{\\sinh(x)}{\\cosh(x)} qquad \text{cotgh}(x) = \frac{\\cosh(x)}{\\sinh(x)}[/math]
[math]\text{sech}(x) = \frac{1}{\\cosh(x)} qquad \text{\\cosech}(x) = \frac{1}{\\sinh(x)}[/math]
Indice
Relazione fondamentale
[math]\\cosh^2(x) - \\sinh^2(x) = 1[/math]
Simmetrie
[math]\\sinh(-x) = - \\sinh(x) qquad \\cosh(-x) = \\cosh(x) qquad \text{tgh}(-x) = - \text{tgh}(x)[/math]
Formule di addizione
[math]\\sinh(x + y) = \\sinh(x) \\cosh(y) + \\cosh(x) \\sinh(y)[/math]
[math]\\sinh(x - y) = \\sinh(x) \\cosh(y) - \\cosh(x) \\sinh(y)[/math]
[math]\\cosh(x + y) = \\cosh(x) \\cosh(y) + \\sinh(x) \\sinh(y)[/math]
[math]\\cosh(x - y) = \\cosh(x) \\cosh(y) - \\sinh(x) \\sinh(y)[/math]
[math]\text{tgh}(x + y) = \frac{\text{tgh}(x) + \text{tgh}(y)}{1 + \text{tgh}(x) \text{tgh}(y)}[/math]
[math]\text{tgh}(x - y) = \frac{\text{tgh}(x) - \text{tgh}(y)}{1 - \text{tgh}(x) \text{tgh}(y)}[/math]
Formule di duplicazione
[math]\\sinh(2x) = 2 \\sinh(x) \\cosh(x)[/math]
[math]\\cosh(2x) = \\cosh^2(x) + \\sinh^2(x) = 2 \\cosh^2(x) - 1 = 1 + 2 \\sinh^2(x)[/math]
[math]\text{tgh}(2x) = \frac{2 \text{tgh}(x)}{1 + \text{tgh}^2(x)}[/math]
Formule di bisezione
[math]\\sinh^2(x) = \frac{\\cosh(2x) - 1}{2} qquad \\cosh^2(x) = \frac{\\cosh(2x) + 1}{2} qquad \text{tgh}(x) = \frac{\\cosh(2x) - 1}{\\sinh(2x)} = \frac{\\sinh(2x)}{\\cosh(2x) + 1}[/math]
Formule di prostaferesi
[math]\\sinh(p) + \\sinh(q) = 2 \\sinh(\frac{p+q}{2}) \\cosh(\frac{p-q}{2})[/math]
[math]\\sinh(p) - \\sinh(q) = 2 \\cosh(\frac{p+q}{2}) \\sinh(\frac{p-q}{2})[/math]
[math]\\cosh(p) + \\cosh(q) = 2 \\cosh(\frac{p+q}{2}) \\cosh(\frac{p-q}{2})[/math]
[math]\\cosh(p) - \\cosh(q) = 2 \\sinh(\frac{p+q}{2}) \\sinh(\frac{p-q}{2})[/math]
Formule parametriche
[math]\\sinh(x) = \frac{2 \text{tgh}(\frac{x}{2})}{1 - \text{tgh}^2(\frac{x}{2})} qquad \\cosh(x) = \frac{1 + \text{tgh}^2(\frac{x}{2})}{1 - \text{tgh}^2(\frac{x}{2})} qquad \text{tgh}(x) = \frac{2 \text{tgh}(\frac{x}{2})}{1 + \text{tgh}^2(\frac{x}{2})}[/math]
Funzioni inverse
Le funzioni inverse delle funzioni iperboliche considerate sono rispettivamente settore seno iperbolico, settore coseno iperbolico, settore tangente iperbolica, settore cotangente iperbolica, settore secante iperbolica, settore cosecante iperbolica
[math]\text{sett\\sinh}(x) = \\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) qquad \text{sett\\cosh}{x} = \\log(x - \sqrt{x^2 - 1})[/math]
[math]\text{setttgh}(x) = \frac{1}{2} \\log(\frac{1 + x}{1 - x}) qquad \text{settcotgh}(x) = \frac{1}{2} ln(\frac{x+1}{x-1})[/math]
[math]\text{settsech}(x) = ln(\frac{1 \\pm \sqrt{1 - x^2}}{x}) qquad \text{sett\\cosech}{x} = ln(\frac{1 \\pm \sqrt{1 + x^2}}{x})[/math]
I logaritmi si intendono in base
[math]e[/math]
.
Funzioni iperboliche e goniometriche con argomento complesso
[math]\\cosh(i x) = \\cos(x)[/math]
[math]\\sinh(i x) = i \cdot \\sin(x)[/math]
[math]\text{tgh}(i x) = i \cdot \text{tg}(x)[/math]
[math]\\sinh(x) = - i \cdot \\sin(i x)[/math]
[math]\\cosh(x) = \\cos(i x)[/math]
[math]\text{tgh}(x) = -i \cdot \text{tg}(i x)[/math]
[math]\text{sett\\sinh}(x) = i \cdot \text{arc\\sin}(i x)[/math]
[math]\text{sett\\cosh}(x) = i \cdot \text{arc\\cos}(i x)[/math]
[math]\text{setttgh}(x) = i \cdot \text{arctg}(- i x)[/math]
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