In questo appunto di Matematica affrontiamo l’argomento delle frazioni algebriche, dandone la definizione, illustrando alcune loro proprietà e spiegandone la loro semplificazione mediante i metodi di scomposizione noti.
Indice
Frazioni algebriche
Partiamo col definire il significato di frazione algebrica.
Chiameremo frazione algebrica la scrittura
\frac{A}{B} = A : B
[/math]
dove A e B sono dei polinomi (quest’ultimo non nullo) chiamati termini della frazione algebrica:
- A è il numeratore
- B è il denominatore
Facciamo un esempio, l’espressione
\frac{x^2-8x+12}{x^2+4-4x}
[/math]
è una frazione algebrica in cui i suoi termini sono
A = x^2-8x+12 è il numeratore
[/math]
B = x^2+4-4x
[/math]
è il denominatore che esiste per valori di
x ≠ 2
[/math]
, poiché
x^2+4-4x = (x – 2)^2
[/math]
.
Ovviamente le variabili che costituiscono numeratore e denominatore possono essere più di una e la frazione algebrica
\frac{A}{B} = A : B
[/math]
continuerà a costituire un numero reale.
Bisogna però precisare che dai valori da attribuire alla variabile, o alle variabili, vanno esclusi quelli per i quali il polinomio B si annulla.
Proprietà delle frazioni algebriche
Diremo che due frazioni algebriche sono uguali quando assumono gli stessi valori per ciascun gruppo di valori attribuiti alle lettere che in esse compaiono, fatta eccezione per quelli che annullano uno o entrambi i denominatori.
In base a questa definizione si può asserire che le frazioni algebriche godono della proprietà invariantiva:
moltiplicando o dividendo (quando entrambe le divisioni siano a quoziente esatto) entrambi i termini di una frazione algebrica per uno stesso polinomio diverso da zero, si ottiene una frazione algebrica uguale a quella di partenza.
Sulla base di questa proprietà è talvolta possibile sostituire ad una data frazione algebrica, un’altra frazione algebrica uguale alla prima e di forma più semplice: si devono dividere ambo i termini della frazione algebrica data per un polinomio che sia loro divisore comune (ammesso che tale polinomio esista).
Si deve effettuare il calcolo scomponendo i due termini della frazione in fattori e semplificando i fattori comuni.
Se i due termini della frazione algebrica sono stati scomposti in fattori primi e si sopprimono tutti i fattori comuni, allora i due termini della frazione vengono divisi per il loro massimo comune divisore. In questo modi diremo che la frazione algebrica ottenuta è irriducibile o ridotta ai minimi termini.
Riduzioni di frazioni algebriche a denominatore comune
Si vuole dimostrare che è possibile sostituire due o più frazioni algebriche con altre rispettivamente uguali ed aventi lo stesso denominatore.
Questo è possibile riducendo due o più frazioni allo stesso minimo comun denominatore.
Date
\frac{A}{B}
[/math]
\frac{A_1}{B_1}
[/math]
\frac{A_n}{B_n}
[/math]
frazioni ridotte ai minimi termini.
Si calcoli il minimo comune multiplo fra
B, B_1, …, B_n
[/math]
, che chiameremo
M
[/math]
Si divida
M
[/math]
per ciascuno dei denominatori
B, B_1, …, B_n,
[/math]
ottenendo i quozienti
Q, Q_1, …, Q_n
[/math]
Si sostituisca le frazioni date con:
\frac{AQ}{BQ} = \frac{AQ}{M}
[/math]
\frac{A_1Q_1}{B_1Q_1} = \frac{A_1Q_1}{M}
[/math]
\frac{A_nQ_n}{B_nQ_n} = \frac{A_nQ_n}{M}
[/math]
Facciamo un esempio.
Siano date le frazioni algebriche
\frac{x^2 + 3}{x - 1}
[/math]
\frac{x + 2}{x + 1}
[/math]
\frac{x - 1}{(x – 1)(x + 1)}
[/math]
diventano
\frac{(x^2 + 3)(x + 1)}{(x – 1)(x + 1)}
[/math]
\frac{(x + 2)(x – 1)} {(x – 1)(x + 1)}
[/math]
\frac{x - 1}{(x – 1)(x + 1)}
[/math]
Imponendo
x ≠ +1
[/math]
x ≠ -1
[/math]
Addizioni e moltiplicazioni di frazioni algebriche
Il procedimento da seguire per eseguire una somma fra frazioni algebriche è il seguente:
- si riducono la frazioni algebriche addendi ad uguale denominatore
- si costruisce la frazione algebrica che ha per denominatore il denominatore comune e per numeratore la somma algebrica dei numeratori (possibilmente riducendola ai minimi termini).
A seguire un esempio esplicativo:
\frac{x}{(x + 2)} + \frac{(x + 1)}{(2 - x)} - \frac{8}{x^2 - 4} - 5 =
[/math]
= \frac{x}{(x + 2)} - \frac{(x + 1)}{(x - 2)} - \frac{8}{(x – 2)(x + 2)} - 5 =
[/math]
= \frac{x(x – 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{8}{(x – 2)(x + 2)} - \frac{5(x^2 – 4)}{(x + 2)(x – 2)} =
[/math]
= \frac{ x(x – 2) - (x + 1)(x + 2) – 8 - 5(x^2 – 4)}{(x - 2)(x + 2)} =
[/math]
= \frac{ x^2 – 2x - x^2 - 3x - 2 – 8 - 5x^2 + 20)}{(x - 2)(x + 2)} =
[/math]
= \frac{–5x - 5x^2 + 10)}{(x - 2)(x + 2)} =
[/math]
= \frac{–5(x + x^2 - 2)}{(x - 2)(x + 2)} =
[/math]
= \frac{–5(x + 2)(x – 1)}{(x - 2)(x + 2)} =
[/math]
= \frac{–5(x + 2)(x – 1)}{(x - 2)(x + 2)} =
[/math]
= \frac{–5(x – 1)}{(x - 2)}.
[/math]
Avendo posto
x ≠ +2
[/math]
x ≠ -2
[/math]
Il prodotto fra frazioni algebriche è la frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori (possibilmente riducendo ai minimi termini).
Segue un esempio:
[\frac{4x - 16}{8x}] [\frac{24x}{2x - 8}] =
[/math]
[\frac{4(x – 16)}{8x}] [\frac{24x}{2(x – 8)}] =
[/math]
[\frac{(x – 16)}{2x}] [\frac{12x}{(x – 8)}] =
[/math]
[\frac{(x – 16)}{x}] [\frac{6x}{(x – 8)}] =
[/math]
[\frac{(x – 16)}{1}] [\frac{6}{(x – 8)}] =
[/math]
Avendo imposto
x ≠ 0
[/math]
x ≠ 8
[/math]
Semplificazione di una frazione algebrica
Al fine di semplificare una frazione algebrica, ossia scriverla nella sua forma più semplice possibile, è necessario scomporre in fattori i suoi termini (numeratore e denominatore).
I metodi di scomposizione sono:
- raccoglimento totale;
- raccoglimento parziale;
- riconoscimento di un prodotto notevole (differenza di quadrati, quadrato di un binomio o trinomio, cubo di un binomio, differenza o somma di cubi);
- trinomio particolare;
- regola di Ruffini.
Una volta scomposti entrambi i termini della frazione algebrica e definito il suo campo di esistenza, ossia definito l’insieme dei valori della variabile (o delle variabili) per cui tale frazione algebrica esiste, si dividono entrambi i membri per i fattori comuni (proprietà invariantiva).
Di seguito si propone un esempio
Sia datala frazione algebrica
\frac{x^2 + 2xy}{x^2 – 4y^2} = \frac{x(x + 2y)}{(x – 2y)(x + 2y)} = \frac{x}{x – 2y}
[/math]
Avendo supposto che
x ≠ -2y
[/math]
poiché per tali valori il denominatore risulta nullo.
Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni algebriche vedi anche qua
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