Seno e coseno in geometria e trigonometria

In questo appunto di trigonometria vengono descritti nel dettaglio il cosiddetto seno e il cosiddetto coseno. Si descrive come essi siano delle grandezze adimensionali. Si descrivono anche il seno e il coseno di un angolo in geometria. Si fanno anche accenni al teorema di Pitagora.

Il seno e il coseno: grandezze adimensionali specifiche degli angoli.

I concetti di seno e coseno di un angolo sono molto importanti nella trigonometria (che è quella branca della matematica che studia le relazioni esistenti tra gli angoli di un triangolo), e nella geometria, perchè -se opportunamente utilizzati- permettono di calcolare facilmente i lati di un qualsiasi triangolo. Sono dette funzioni goniometriche poiché sono caratteristiche di ogni angolo, cioè ogni angolo ha il suo valore del seno e il valore del suo coseno... un po' come la densità dei materiali, ogni materiale ha un suo valore di densità! Non solo: i concetti di seno e coseno trovano larga applicazione anche nella fisica, dove vengono utilizzati per descrivere le caratteristiche di certi moti o determinare l'entità di certe forze o delle loro componenti. Vediamo di capire bene cosa sono.

Il seno e il coseno di un angolo in geometria

Disegniamo innanzi tutto un triangolo rettangolo, retto in C. Siano CB e CA i suoi cateti e sia AB la sua ipotenusa. Indichiamo poi con le lettere α e β rispettivamente i due angoli acuti con vertice in A e in B.
Si sa che questi due angoli sono complementari (cioè tali che la loro somma sia pari a 90°): la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è infatti pari a 180°, e poichè l'angolo con vertice in C è retto, la somma dei due restanti angoli acuti non può che essere 90°.

La figura 1 è riportata in allegato al testo.

La trigonometria ha appunto come scopo quello di studiare i rapporti tra i lati di un triangolo come quello che abbiamo appena costruito, determinando anche le relazioni esistenti tra essi.
Ai sei possibili rapporti che è possibile costruire con i tre lati del triangolo ABC viene dato il nome di funzioni trigonometriche. Di queste sei, le due più impostanti sono certamente il seno e il coseno.

Si definisce seno di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto opposto all'angolo considerato e l'ipotenusa. Nel nostro caso viene ad essere:





Si definisce invece coseno di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo considerato e l'ipotenusa. Nel nostro caso viene ad essere:





Come si può notare dalle formule appena riportate:





Abbiamo precedentemente constatato come i due angoli α e β siano complementari. Questo ci porta dunque alla conclusione che il seno di un angolo acuto è uguale al coseno del suo complementare, e viceversa.

La geometria ci insegna anche un altro importante fatto: è possibile dimostrare che il seno e il coseno di un angolo dipendono unicamente dall'ampiezza dell'angolo. In altre parole, qualunque sia la misura dei tre lati di un triangolo rettangolo, a parità di angoli i loro rapporti BC/AB e AC/AB saranno sempre gli stessi. Così, un angolo di 30° avrà sempre lo stesso valore di seno e coseno, indipendentemente da quali siano le misure del triangolo rettangolo di cui fa parte. Allo stesso modo anche un angolo di 60° avrà sempre lo stesso valore di seno e coseno, indipendentemente da quali siano le misure del triangolo rettangolo di cui fa parte, e così via.

Seno e coseno sono inoltre due valori adimensionali (cioè privi di unità di misura), in quanto rapporti tra grandezze omogenee (lato/lato).

Conoscere a memoria i valori di seno e coseno di un certo angolo (30°, 45°, 60°...ecc.) è dunque molto utile in geometria, perchè permette di determinare il valore di un cateto nota l'ipotenusa o il valore dell'ipotenusa noto un cateto: è sufficiente utilizzare le formule inverse derivate da quelle del seno e del coseno.

oppure:


oppure:

Le misure del seno e del coseno dei principali angoli si trovano tabulate nei manuali di geometria o di trigonometria:

e

e

e

e

e

Non è raro che l'ampiezza di un angolo venga espressa anzichè in gradi sessagesimali (30°, 45°, 60°) in radianti. La trigonometria, anzi, predilige proprio questa unità di misura.
In ogni caso, è possibile convertire la misura in gradi di un angolo nella rispettiva misura in radianti, o viceversa.

Di seguito, un elenco dei principali angoli, le cui misure sono espresse sia in gradi che in radianti.
















A legare il seno e il coseno di un medesimo angolo esiste poi un'importante relazione, nota come "prima relazione fondamentale della trigonometria". Essa afferma che "la somma dei quadrati di seno e coseno di un medesimo angolo è pari ad 1". Vediamo dunque di dimostrarla.

Facendo sempre riferimento al triangolo rettangolo ABC, dal Teorema di Pitagora sappiamo che tra i due cateti del triangolo e l'ipotenusa esiste la seguente relazione:



Per approfondimenti sul Teorema di Pitagora vedi anche qua

Le equazioni ci insegnano inoltre che dividendo entrambi i membri di una equazione per uno stesso valore/numero l'uguaglianza resta valida. Proviamo dunque a dividere entrambi i membri di questa equazione per AB². Diviene:

;



Ricordando che: e che , possiamo giungere alla conclusione che:




Attraverso questa relazione è possibile determinare il seno di un angolo acuto quando se ne conosce il coseno, oppure il coseno quando se ne conosce il seno: è sufficiente utilizzare le seguenti formule inverse:





Per determinare univocamente il valore del seno di un angolo dato il suo coseno (o viceversa, per determinare il valore del coseno di un angolo dato il suo seno) è necessario sapere inoltre in quale quadrante si trova l'angolo. Infatti, è importante ricordare che nel primo quadrante coseno e seno sono entrambi positivi, nel secondo quadrante coseno e seno sono rispettivamente negativi e positivi, nel terzo quadrante seno e coseno sono entrambi negativi, nel quarto quadrante coseno e seno sono rispettivamente positivi e negativi.

La circonferenza goniometrica: definizione e proprietà. Segno di seno e coseno nei vari quadranti.

I concetti di seno e coseno che abbiamo appena introdotto facendo riferimento ad un triangolo rettangolo sono oggetto di studio in trigonometria grazie all'introduzione della cosiddetta circonferenza goniometrica. L'analisi di ciò che accade al suo interno permette anche di determinare il valore del seno e del coseno degli angoli principali.

Per circonferenza goniometrica si intende una circonferenza con centro nell'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio arbitrario. Per semplicità, adotteremo come unità di misura dei due assi proprio la misura di questo raggio (R = 1).

Dai due assi cartesiani lo spazio e la circonferenza goniometrica sono quindi divisi in quattro quadranti: il primo conterrà i punti con ascissa positiva e ordinata positiva, il secondo conterrà i punti con ascissa negativa e ordinata positiva, il terzo conterrà i punti con ascissa negativa e ordinata negativa, il quarto conterrà i punti con ascissa positiva e ordinata negativa.

Facendo riferimento alla Figura 2 (in allegato), questo comporta che i punti A, B,C e D abbiano nel piano le seguenti coordinate:

A (1,0)
B (0,1)
C (-1,0)
D (0,-1)



Indichiamo con P un generico punto sulla circonferenza goniometrica, libero di scorrere lungo di essa: Figura 2 (in allegato).
Se da P mandiamo la perpendicolare al raggio OA della circonferenza, otteniamo il triangolo rettangolo OPH. Indichiamo con α l'angolo acuto del triangolo OPH con origine in O.

Facendo riferimento alle due definizioni di seno e coseno di un angolo acuto che sono state in precedenza fornite, possiamo scrivere:

, cioè è pari all'ordinata del punto P;

, cioè è pari all'ascissa del punto P.


Questo ci permette dunque di dire che:
1) se il punto P si trova nel primo quadrante, l'angolo α avrà coseno positivo e seno positivo;
2) se il punto P si trova nel secondo quadrante, l'angolo α avrà coseno negativo e seno positivo;
3) se il punto P si trova nel terzo quadrante, l'angolo α avrà coseno negativo e seno negativo;
4) se il punto P si trova nel quarto quadrante, l'angolo α avrà coseno positivo e seno negativo.

Vediamo di analizzare il tutto più nel dettaglio.

Per P=A: , mentre .


Da questo momento in poi la funzione seno è crescente, ed assume valori positivi. Raggiungerà il suo massimo in corrispondenza del punto B. La funzione coseno è invece decrescente, e come il seno assume valori positivi.

Per P=B: , mentre .


Da questo momento in poi la funzione seno è decrescente, ma assume sempre valori positivi. La funzione coseno resta decrescente, ed assume valori negativi. Raggiungerà il suo minimo in corrispondenza del punto C.

Per P=C: , mentre .

La funzione seno resta decrescente, ed assume valori negativi. Raggiungerà il suo minimo in corrispondenza del punto D. La funzione coseno diviene invece crescente, ma assume valori negativi.

Per P=D: , mentre .

La funzione seno diviene crescente, ma assume valori negativi. La funzione coseno resta crescente, e assume valori positivi. Compiuto un giro completo, il punto P tornerà al valore di partenza:

Per P=A: , mentre .

L'analisi di ciò che accade nella circonferenza goniometrica ci permette di giungere a due importantissime conclusioni:

1) Sia il seno che il coseno di un angolo non possono avere valori superiori ad 1 e valori inferiori a -1.

2) Dopo aver compiuto un giro completo, i valori di seno e coseno del punto P tornano ad essere gli stessi. Quindi le funzioni seno e coseno sono periodiche, con periodo pari all'arco giro (360°).

Se costruiamo un grafico cartesiano ortogonale che abbia in ascissa i valori via via assunti dall'angolo α, e in ordinata i corrispettivi valori ora del seno e ora del coseno, otteniamo gli andamenti della FIGURA 3 (in allegato) e della Figura 4 (in allegato).

I due grafici prendono il nome di sinusoide e cosinusoide.