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Sintesi

Funzioni Discontinue



Una funzione
[math]f:A\rightarrow B[/math]
è continua in
[math]x_0\in A[/math]
se:
1)
[math]\exists\ f(x_0)[/math]


2)
[math]\exists\ \lim_{x\to x_0} f(x)=l\not=\infty[/math]


3)
[math]f(x_0)=l[/math]


Se una di queste assunzioni non è verificata, la funzione è discontinua. Ci sono quindi tre dipi di funzioni discontinue:

DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE


[math]\exists \lim_{x\to x_0^+} f(x)=l_1\in\mathbb{R}[/math]


[math]\exists \lim_{x\to x_0^+} f(x)=l_2\in\mathbb{R}[/math]


[math]l_1\not= l_2[/math]


Esistono sia il limite sinistro che quello destro, ma sono diversi. Vuol dire che non esiste il limite per
[math]x\to x_0[/math]
altrimenti i due limiti, destro e sinistro, coinciderebbero. Non vale quindi la seconda condizione di continuità.
In questo caso c’è un salto della funzione e la discontinuità non è eliminabile. Per esempio:

[math]f(x)=\frac{|x|}{x}=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & x>0\\ -1 & & x<0
\end{array}\right.[/math]


In corrispondenza di x=0 la funzione presenta un salto di 2 unità.

DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE


Si ha quando o non esiste il limite, o non esiste finito almeno uno dei due limiti (destra o sinistra). Questa discontinuità non è eliminabile.

Esempio di funzione con limite che non esiste:

[math]f(x)=sin\frac{1}{x}[/math]


In questo caso, per
[math]x\to x_0[/math]
la funzione oscilla tra i valori -1 e 1, senza assumere un valore preciso: il limite non esiste.


Esempio di funzione con limite infinito

[math]f(x)=\tan x[/math]


In questo caso si ha

[math]\lim_{x\to \pi/2^{\pm}} f(x)=\mp\infty[/math]


pertanto la funzione ha i limiti destro e sinistro differenti e infiniti.

Esempio di funzione in cui non esiste finito uno dei due limiti

[math]f(x)=e^{1/x}[/math]


In questo caso

[math]\lim_{x\to 0^-} f(x)=0^+,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty[/math]



DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE


[math]\exists\ \lim_{x\to x_0}f(x)=l\not=\infty,\qquad \nexists\ f(x_0)[/math]



Esiste il limite, ma non esiste il valore della funzione. In questo caso la discontinuità si può eliminare usando la nuova funzione, detta estensione continua

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
f(x) & & x\not= x_0\\ l & & x=x_0
\end{array}\right.[/math]


Esempio:

[math]f(x)=\frac{\sin x}{x}[/math]



La funzione non è definita in
[math]x_0=0[/math]
, però esiste il limite che è uguale a 1. Pertanto poniamo

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{\sin x}{x} & & x\not= 0\\ 1 & & x=0
\end{array}\right.[/math]



Esempio:

[math]f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}[/math]



La funzione non è definita in
[math]x_0=1[/math]
. Tuttavia


[math]\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}[/math]



Pertanto la discontinuità è eliminabile e possiamo porre

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} & & x\not= 1\\
\frac{1}{2} & & x=1
\end{array}\right.[/math]
Estratto del documento

LE FUNZIONI DISCONTINUE

∈

x A

f : A→B

Una funzione è continua in se:

0

( )

∃ f x

i. 0 ( )

∃ lim f x

ii. 0

x→ x 0 ( )

( )=f

∃ lim f x x

iii. 0

x→ x 0

Se una di queste assunzioni non è verificata, la funzione è discontinua. Ci sono quindi tre

dipi di funzioni discontinue:

DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE

+¿ ( ) ∈

=l

x → x f x l R

0 1 1 , è finito

∃ ¿

lim

¿

−¿ ( ) ∈

=l

x → x f x l R

0 2 2 , è finito

∃ ¿

lim

¿ l ≠ l

ma 1 2

Esistono sia il limite sinistro che quello destro, ma sono

x

diversi. Vuol dire che non esiste il limite per altrimenti i

0 x

due limiti, destro e sinistro, coinciderebbero. contiene

0

+¿ −¿

sia che , se i loro limiti sono diversi, allora

¿ ¿

x x

0 0

sostanzialmente non esiste il limiti.

Non vale quindi la seconda condizione di continuità.

In questo caso c’è un salto nella funzione e la discontinuità

non è eliminabile. Quindi nella Discontinuità di Prima Specie la funzione presenta un

salto non colmabile!

Per esempio: {

| |

x ( )=1

>0

se x f x

( )= =

f x

 x ( )

<0 =−1

se x f x x=0

In corrispondenza di la funzione

presenta un salto di 2 unità e che quindi non si

¿ 0

può risanare perchè , non nullo.

DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE

Si ha quando o non esiste il limite, o non esiste finito almeno uno dei due limiti (destra o

sinistra). Questa discontinuità non è eliminabile.

1) Non esiste

1

( )=sin

f x Questa funzione non ha un periodo

x

fisso perchè non sappiamo dare un valore preciso.

x → 0 1/ x → ∞ sin

Infatti, se , e in tende

all’infinito. In un intorno all’infinito non si sa in che

sin

posizione ci si trovi perchè il è una funzione

0

oscillante. Così, anche nell’intorno dello essa

può di fatto assumere qualsiasi valore, e per questo

la lasciamo tratteggiata in grafico. Non esiste un

valore preciso, ma ci possono essere tutti gli inficini valori compresi tra 1 e -1.

2) Non esiste limite finito

+¿

π '

la funzione tende all infinito ,+∞

2 ¿

−¿

π '

¿

x→ x→ la funzione tende all infinito ,−∞

2 π

( ) = =¿

f x 2

In questo casono non esistono limiti finiti. Non esiste finito né il limite destro, né quello

sinistro.

3) Non esiste finito uno dei due limiti

Per esempio, nella funzione come in grafico:

+¿ '

¿+

x → 0 ∞va all infinito

¿ ¿

lim lim

¿ −¿ ¿

x → 0 0 èun limite finito

¿

DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE

+¿ ( ) ∄

=l ( )

x → x f x ma f x

0 0

∃ ¿

lim

¿

Quindi, esiste il limite, ma non esiste il valore della funzione. In questo caso la

+¿ ( )

x → x f x

0

discontinuità si può eliminare ponendo .

(x )=lim ¿

f 0 ¿

Per esempio:

sin x

( )=

f x Non è calcolabile in , però esiste il limite che è uguale a 1

x=0

 x

{ sin x x≠ 0

( )=

f x x

1 x=0

√ x−1 in non esiste la funzione. É un punto di discontinuità della

x=1

 y= x−1 ( )

f 1

funzione che non è calcolabile in .

√ √

x−1 x−1 1

=lim =

lim √ √

x−1 2

( ) ( )

+1

x−1 x

x→ 1 x→ 1

È indifferente andarci da destra o da sinistra, il limite esiste.

{ √ x−1 x ≠1

x−1

y= 1 x=1

2

Vediamo un altro esempio:

x

y= x ≠ ±1 In questo caso ci sono due punti di discontinuità, +1 e -1.

 4 −1

x x=+1

Vediamo cosa succede nell’intorno di :

+¿

=+

0 ∞

+¿

1

¿ x

+¿ =¿

x→ 1 4 −1

x ¿

lim

¿

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Nicky83
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