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Funzioni Discontinue

Una funzione

[math]f:A\rightarrow B[/math]
è continua in
[math]x_0\in A[/math]
se:
1)
[math]\exists\ f(x_0)[/math]

2)

[math]\exists\ \lim_{x\to x_0} f(x)=l\not=\infty[/math]

3)

[math]f(x_0)=l[/math]

Se una di queste assunzioni non è verificata, la funzione è discontinua. Ci sono quindi tre dipi di funzioni discontinue:

DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE


[math]\exists \lim_{x\to x_0^+} f(x)=l_1\in\mathbb{R}[/math]

[math]\exists \lim_{x\to x_0^+} f(x)=l_2\in\mathbb{R}[/math]

[math]l_1\not= l_2[/math]

Esistono sia il limite sinistro che quello destro, ma sono diversi. Vuol dire che non esiste il limite per

[math]x\to x_0[/math]
altrimenti i due limiti, destro e sinistro, coinciderebbero. Non vale quindi la seconda condizione di continuità.
In questo caso c’è un salto della funzione e la discontinuità non è eliminabile. Per esempio:

[math]f(x)=\frac{|x|}{x}=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & x>0\\ -1 & & x<0
\end{array}\right.[/math]

In corrispondenza di x=0 la funzione presenta un salto di 2 unità.

DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE


Si ha quando o non esiste il limite, o non esiste finito almeno uno dei due limiti (destra o sinistra). Questa discontinuità non è eliminabile.

Esempio di funzione con limite che non esiste:

[math]f(x)=sin\frac{1}{x}[/math]

In questo caso, per

[math]x\to x_0[/math]
la funzione oscilla tra i valori -1 e 1, senza assumere un valore preciso: il limite non esiste.


Esempio di funzione con limite infinito

[math]f(x)=\tan x[/math]

In questo caso si ha

[math]\lim_{x\to \pi/2^{\pm}} f(x)=\mp\infty[/math]

pertanto la funzione ha i limiti destro e sinistro differenti e infiniti.

Esempio di funzione in cui non esiste finito uno dei due limiti

[math]f(x)=e^{1/x}[/math]

In questo caso

[math]\lim_{x\to 0^-} f(x)=0^+,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty[/math]


DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE


[math]\exists\ \lim_{x\to x_0}f(x)=l\not=\infty,\qquad \nexists\ f(x_0)[/math]


Esiste il limite, ma non esiste il valore della funzione. In questo caso la discontinuità si può eliminare usando la nuova funzione, detta estensione continua

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
f(x) & & x\not= x_0\\ l & & x=x_0
\end{array}\right.[/math]

Esempio:

[math]f(x)=\frac{\sin x}{x}[/math]


La funzione non è definita in

[math]x_0=0[/math]
, però esiste il limite che è uguale a 1. Pertanto poniamo

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{\sin x}{x} & & x\not= 0\\ 1 & & x=0
\end{array}\right.[/math]


Esempio:

[math]f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}[/math]


La funzione non è definita in

[math]x_0=1[/math]
. Tuttavia


[math]\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}[/math]


Pertanto la discontinuità è eliminabile e possiamo porre

[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} & & x\not= 1\\
\frac{1}{2} & & x=1
\end{array}\right.[/math]

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