In questo appunto di matematica si definisce l’operazione di elevamento a potenza, si descrivono tutte le proprietà di cui gode tale operazione e si introducono le funzioni esponenziali.
Elevamento a potenza
L’elevamento a potenza di un numero si definisce a seconda dell’insieme di appartenenza della base e dell’esponente.
Si definisce potenza ennesima, con n numero naturale, di un numero naturale o razionale assoluto, a e si indica con
a^n:
[/math]
- il prodotto di n fattori tutti uguali ad a, se [math];
n \ge 2
[/math] - il numero a se n = 1;
- il numero 1 se n = 0.
Si noti che alla scrittura
0^0
[/math]
non si attribuisce alcun risultato.
La potenza di un numero relativo ad esponente intero positivo o nullo è del tutto analoga alla precedente.
La definizione di potenza ad esponente intero negativo è sintetizzata dall’uguaglianza:
a^{-n} = \big(\frac{1}{a}\big)^n.
[/math]
Se l’esponente è un numero frazionario,
\frac{n}{m}
[/math]
, con n ed m primi fra loro, avremo che vale la seguente relazione:
a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}.
[/math]
Su cui si devono fare alcune restrizioni:
- se n è positivo ed m è dispari la potenza è definita per qualsiasi valore di a;
- se n è positivo ed m è pari la potenza è definita per a non negativo;
- se n è negativo ed m è dispari la potenza è definita per qualsiasi valore di a non nullo;
- se m è pari la potenza è definita per a positivo.
. Ad esempio, non esiste il numero:
(-2)^ {\sqrt{3}}.
[/math]
Le potenze
a^n
[/math]
aventi per base un numero reale maggiore di uno e per esponente un numero razionale positivo sono sempre maggiori di uno.
E’ importante sottolineare che l’operazione inversa di elevamento a potenza è l’estrazione della radice ennesima.
Proprietà delle potenze
Le proprietà delle potenze possono essere così elencate:
- proprietà del prodotto di due potenze di uguale base;
- proprietà del quoziente di due potenze di uguale base;
- proprietà della potenza di una potenza;
- proprietà distributiva della potenza rispetto al prodotto;
- proprietà distributiva della potenza rispetto al quoziente.
La proprietà del prodotto di due potenze di uguale base, ma di esponenti diversi asserisce che:
il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
Ossia date:
a^m
[/math]
ed
a^n
[/math]
si ha che
(a^m)\cdot (a^n) = a^{m + n}.
[/math]
Facciamo un esempio numerico:
(5^3)\cdot (5^6) = 5^{3 + 6} = 5^9.
[/math]
La proprietà del quoziente di due potenze di uguale base, ma con esponenti diversi asserisce che:
il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Ossia date:
a^m
[/math]
ed
a^n
[/math]
si ha che
(a^m) : (a^n) = a^{m - n}
[/math]
con
m \ge n.
[/math]
Facciamo un esempio numerico:
(5^6) : (5^3) = 5^{6 - 3} = 5^3.
[/math]
La proprietà della potenza di una potenza asserisce che:
la potenza di potenza di un numero relativo è una potenza avente per base lo stesso numero e per esponente il prodotto degli esponenti.
Ossia date
a^m
[/math]
ed
n
[/math]
si ha che
(a^m)^n = a^{m \cdot n}.
[/math]
Un esempio numerico potrebbe essere il seguente:
(5^3)^6 = 5^{3 \cdot 6} = 5^{18}.
[/math]
La proprietà distributiva della potenza rispetto al prodotto asserisce che:
la potenza del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle potenze di ciascun fattore.
Ossia date
a ed b
si ha che
(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n.
[/math]
Facciamo un esempio numerico:
(3 \cdot 5)^9 = 3^9 \cdot 5^9.
[/math]
La proprietà distributiva della potenza rispetto al quoziente asserisce che:
la potenza del quoziente di due numeri relativi è uguale al quoziente delle potenze di ciascuno dei due numeri dati.
Ossia date
a e b con
b \neq 0
[/math]
si ha che
(a : b)^n = a^n : b^n.
[/math]
Facciamo un esempio numerico:
(3 : 5)^9 = 3^9 : 5^9.
[/math]
A queste proprietà devono essere aggiunte alcune importanti osservazioni.
Il valore di una potenza con esponente unitario è sempre uguale alla base: qualsiasi numero elevato alla uno restituisce il numero stesso, sia esso positivo o negativo.
Il valore di una potenza con base nulla è sempre nullo, qualunque sia l'esponente (purché diverso da zero): il numero zero elevato a qualsiasi numero diverso da zero e positivo, continua a restituire zero.
Il valore di una potenza con base unitaria è sempre unitario, qualunque sia l'esponente: il numero uno può essere elevato a qualsiasi esponente ed otterremo come risultato il numero uno.
La potenza ad esponente zero di un numero relativo qualunque non nullo, è sempre uguale all'unità: qualsiasi numero (diverso da zero) elevato alla zero, restituisce il numero uno.
Una potenza ad esponente negativo è uguale al reciproco della stessa potenza ma con esponente opposto (ossia con il segno cambiato):
data
a^{-n}
[/math]
si ottiene che
a^{-n} = \big(\frac{1}{a}\big)^n.
[/math]
Concetto di funzione esponenziale
La definizione di potenza di un numero e tutte le proprietà sopra elencate e descritte delle potenze, ci consentono di arrivare alla definizione di funzione esponenziale.
Sia data una base, a, maggiore di uno e si consideri un esponente x, variabile reale; la funzione esponenziale è descritta da:
y = a^x
[/math]
il cui dominio è tutto l’insieme dei numeri reali, R, mentre il codominio sono tutti i numeri reali strettamente maggiori di zero.
La potenza
a^x
[/math]
, definita come sopra, cresce indefinitamente al crescere della variabile x, ossia più precisamente, comunque venga scelto un numero reale positivo M, si può corrispondentemente trovare un numero
x_1
[/math]
tale che, per ogni x maggiore di
x_1
[/math]
, risulti
a^x \ge M.
[/math]
Si può quindi asserire che la funzione esponenziale
a^x
[/math]
è una funzione crescente per valori della variabile x crescenti verso più infinito.
Analogamente si osserva che la potenza
a^x
[/math]
, con base maggiore di uno ed esponente reale, decresce indefinitamente al diminuire di x. Più precisamente, comunque si scelga un numero reale positivo N, si può corrispondentemente trovare un numero
x_2
[/math]
, tale che per ogni x minore di
x_2
[/math]
, risulti
a^x \le N.
[/math]
In questo caso, contrariamente al precedente, si può asserire che la funzione esponenziale
a^x
[/math]
è una funzione decrescente per valori della variabile x decrescenti verso meno infinito.
Se il valore dell’esponente x è zero, la potenza
a^0
[/math]
assume il valore uno, per cui la funzione esponenziale interseca l’asse delle y del piano cartesiano nel punto di coordinate (0; 1).
Possiamo concludere asserendo che la funzione esponenziale con base maggiore di uno è una funzione strettamente crescente.
Se la base della funzione analizzata ha un valore compreso fra zero ed uno, l’andamento della funzione esponenziale è inverso a quello descritto precedentemente:
- se la variabile x, che rappresenta l’esponente, cresce indefinitamente verso valori positivi, la funzione assume valori sempre più piccoli che tendono a zero;
- se la variabile x decresce sempre più verso meno infinito, la funzione tenderà a valori sempre più grandi.
Se ne conclude che se la base a è compresa fra zero ed uno, la funzione esponenziale è strettamente decrescente.
La funzione esponenziale trova ampia applicazione in molti ambiti di studio, per cui ha un ruolo molto importante.
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