Cosa sono le funzioni goniometriche inverse

In questo appunto di matematica troverai le caratteristiche principali delle funzioni goniometriche inverse: la funzione arcoseno e le sue differenze con la funzione seno, la funzione arcocoseno e le sue differenze con la funzione coseno, la funzione arcotangente e le sue differenze con la funzione tangente, ed infine la funzione arcocotangente e le sue differenze con la funzione cotangente. In allegato è presente un file che contiene un riassunto di tutte le informazioni presenti.

Cosa sono le funzioni goniometriche

Le funzioni goniometriche (o trigonometriche) sono funzioni che coinvolgono gli angoli e associano ad essi dei valori numerici aventi precisi significati. Sono funzioni goniometriche il seno, il coseno, la tangente e la cotangente. Per capire perfettamente questo concetto, però, è necessario partire dalla sua applicazione nei triangoli rettangoli e da concetti come la circonferenza goniometrica.

Le funzioni goniometriche e i triangoli rettangoli

Supponiamo di avere un triangolo rettangolo: all'interno di quest'ultimo sono presenti tre lati e tre angoli. Essendo il triangolo rettangolo la metà di un rettangolo, la somma delle ampiezze degli angoli interni ammonta a 180°. Questi ultimi sono:

• un angolo retto, da cui appunto deriva il nome triangolo rettangolo


• due angoli acuti. Attenzione: in un triangolo rettangolo non è possibile trovare angoli ottusi in quanto, poiché un angolo ottuso ha un'ampiezza maggiore dell'angolo retto, la somma degli angoli interni supererebbe l'angolo piatto

mentre i lati possono essere classificati in:

• ipotenusa, ossia il lato più lungo del triangolo rettangolo. E' il lato che si trova di fronte all'angolo retto.


• cateti, cioè i due lati più corti. Per una maggiore chiarezza, viene definito cateto maggiore il lato più lungo dopo l'ipotenusa e cateto minore quello più corto

Nei triangoli rettangoli, le funzioni goniometriche consentono di calcolare la lunghezza dell'ipotenusa o di un cateto conoscendo l'ampiezza di un angolo e quello del lato adiacente o opposto. In particolare:

• si definisce seno dell'angolo
  [math]\alpha[/math]
  [math]sen(\alpha)[/math]
  il rapporto tra la lunghezza del lato opposto all'angolo
  [math]\alpha[/math]
  e l'ipotenusa. Definita
  [math]I[/math]
  l'ipotenusa e
  [math]l[/math]
  la lunghezza del lato opposto, il seno è:
  [math]sen(\alpha)=\frac{l}{I}[/math]


• si definisce coseno dell'angolo
  [math]\alpha[/math]
  (
  [math]cos(\alpha)[/math]
  ), invece, il rapporto tra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa. Chiamando
  [math]l_a[/math]
  la lunghezza del lato adiacente e
  [math]I[/math]
  l'ipotenusa, il coseno è:
  [math]sen(\alpha)=\frac{l_a}{I}[/math]


• La tangente dell'angolo è, invece, il rapporto tra seno e coseno, ossia
  [math]tan(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}[/math]


• La contangente è l'inverso della tangente, ossia il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo
  [math]cotan(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}[/math]

E' opportuno ricordare che tangente e cotangente possono assumere qualsiasi valore, mentre seno e coseno hanno valore compreso tra -1 e 1.

Le funzioni goniometriche e la circonferenza goniometrica

Seno e coseno possono essere anche rappresentate utilizzando la circonferenza goniometrica. La circonferenza goniometrica non è altro che una circonferenza avente raggio e centrata nell'origine di un piano cartesiano. In questo caso, è possibile valutare il coseno e il seno dell'angolo disegnandolo in modo che una delle sue due semirette corrisponda all'asse delle x. Prolungando l'altra semiretta e proiettando sugli assi il punto d'intersezione tra la semiretta e la circonferenza è possibile definire seno e coseno. In particolare, definito il punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza:

• [math]x_b[/math]
  è il valore del coseno, ossia della proiezione sull'asse delle x


• [math]y_b[/math]
  è il valore del seno, ossia della proiezione sull'asse delle y

Cosa sono le funzioni goniometriche inverse

Abbiamo precedentemente parlato delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente. Consideriamo che:

• [math]sen(x)=a[/math]


• [math]cos(x)=b[/math]


• [math]tg(x)=c[/math]


• [math]cotg(x)=d[/math]

a,b,c e d sono valori delle funzioni goniometriche. Poiché esiste un rapporto univoco tra angolo e funzione goniometrica, per comprendere quali sono gli angoli a cui corrispondono tali valori, è opportuno utilizzare le funzioni goniometriche inverse. Esse sono:

• [math]x=arcsen(a)[/math]


• [math]x=arccos(b)[/math]


• [math]x=arctg(c)[/math]


• [math]x=arccotg(d)[/math]

Il discorso, tuttavia, non può essere esteso anche alla situazione inversa: se, infatti, per ogni valore di angolo esiste un solo valore di funzione goniometrica corrispondente (cioè se , il è un unico valore), per un determinato valore di una funzione goniometrica esistono infiniti angoli che possono soddisfarla.

Le funzioni arcoseno e arcocoseno

L'andamento della funzione arcoseno è inverso rispetto a quello del seno. Possiamo dire, infatti, che:
, quindi in generale .
Da ciò è possibile dire che se x deve avere valori intermedi tra 1 e -1, x avrà valori intermedi tra e . Questo è l'unico intervallo di angoli considerabile.



Anche il grafico dell'andamento della funzione arcocoseno è inverso rispetto a quello del coseno. Vale, inoltre:
quindi. Anche in questo caso x non può avere valori esterni all'intervallo 1 e -1: per questo motivo, l'ampiezza dell'angolo y oscilla tra e

Le funzioni arcotangente e arcocotangente

In questo caso vale lo stesso discorso già fatto per l'arcoseno e l'arcocoseno. Nel caso dell'arcotangente, se si desidera trovare un unico valore è possibile considerare l'intervallo di estremi e . Quando si parla di arcocotangente, invece, si considera l'intervallo e
Per arcotangente e arcocotangente vale rispettivamente:

• [math]arc tan(y)=x, x=tan(y)[/math]
  . L'arcotangente non è univocamente definita per valori pari agli estremi
  [math]\frac{-\pi}{2}[/math]
  e
  [math]\frac{\pi}{2}[/math]
  o per valori esterni all'intervallo


• [math]arc cotg(y)=x, x=cotg(y)[/math]
  . Esistono più valori di arcocotangente per valore pari agli estremi
  [math]0[/math]
  e
  [math]\pi[/math]
  o per valori esterni all'intervallo

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni goniometriche inverse vedi anche qua