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Sintesi
In questo appunto di matematica troverai le caratteristiche principali delle funzioni goniometriche inverse: la funzione arcoseno e le sue differenze con la funzione seno, la funzione arcocoseno e le sue differenze con la funzione coseno, la funzione arcotangente e le sue differenze con la funzione tangente, ed infine la funzione arcocotangente e le sue differenze con la funzione cotangente. In allegato è presente un file che contiene un riassunto di tutte le informazioni presenti.



Cosa sono le funzioni goniometriche


Le funzioni goniometriche (o trigonometriche) sono funzioni che coinvolgono gli angoli e associano ad essi dei valori numerici aventi precisi significati. Sono funzioni goniometriche il seno, il coseno, la tangente e la cotangente. Per capire perfettamente questo concetto, però, è necessario partire dalla sua applicazione nei triangoli rettangoli e da concetti come la circonferenza goniometrica.

Le funzioni goniometriche e i triangoli rettangoli


Supponiamo di avere un triangolo rettangolo: all'interno di quest'ultimo sono presenti tre lati e tre angoli. Essendo il triangolo rettangolo la metà di un rettangolo, la somma delle ampiezze degli angoli interni ammonta a 180°. Questi ultimi sono:

  • un angolo retto, da cui appunto deriva il nome triangolo rettangolo

  • due angoli acuti. Attenzione: in un triangolo rettangolo non è possibile trovare angoli ottusi in quanto, poiché un angolo ottuso ha un'ampiezza maggiore dell'angolo retto, la somma degli angoli interni supererebbe l'angolo piatto


mentre i lati possono essere classificati in:

  • ipotenusa, ossia il lato più lungo del triangolo rettangolo. E' il lato che si trova di fronte all'angolo retto.

  • cateti, cioè i due lati più corti. Per una maggiore chiarezza, viene definito cateto maggiore il lato più lungo dopo l'ipotenusa e cateto minore quello più corto



Nei triangoli rettangoli, le funzioni goniometriche consentono di calcolare la lunghezza dell'ipotenusa o di un cateto conoscendo l'ampiezza di un angolo e quello del lato adiacente o opposto. In particolare:
  • si definisce seno dell'angolo
    [math]\alpha[/math]
    [math]sen(\alpha)[/math]
    il rapporto tra la lunghezza del lato opposto all'angolo
    [math]\alpha[/math]
    e l'ipotenusa. Definita
    [math]I[/math]
    l'ipotenusa e
    [math]l[/math]
    la lunghezza del lato opposto, il seno è:
    [math]sen(\alpha)=\frac{l}{I}[/math]

  • si definisce coseno dell'angolo
    [math]\alpha[/math]
    (
    [math]cos(\alpha)[/math]
    ), invece, il rapporto tra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa. Chiamando
    [math]l_a[/math]
    la lunghezza del lato adiacente e
    [math]I[/math]
    l'ipotenusa, il coseno è:
    [math]sen(\alpha)=\frac{l_a}{I}[/math]

  • La tangente dell'angolo è, invece, il rapporto tra seno e coseno, ossia
    [math]tan(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}[/math]

  • La contangente è l'inverso della tangente, ossia il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo
    [math]cotan(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}[/math]

E' opportuno ricordare che tangente e cotangente possono assumere qualsiasi valore, mentre seno e coseno hanno valore compreso tra -1 e 1.

Le funzioni goniometriche e la circonferenza goniometrica


Seno e coseno possono essere anche rappresentate utilizzando la circonferenza goniometrica. La circonferenza goniometrica non è altro che una circonferenza avente raggio e centrata nell'origine di un piano cartesiano. In questo caso, è possibile valutare il coseno e il seno dell'angolo disegnandolo in modo che una delle sue due semirette corrisponda all'asse delle x. Prolungando l'altra semiretta e proiettando sugli assi il punto d'intersezione tra la semiretta e la circonferenza è possibile definire seno e coseno. In particolare, definito
[math]A(x_b,y_b)[/math]
il punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza:

  • [math]x_b[/math]
    è il valore del coseno, ossia della proiezione sull'asse delle x

  • [math]y_b[/math]
    è il valore del seno, ossia della proiezione sull'asse delle y



Cosa sono le funzioni goniometriche inverse


Abbiamo precedentemente parlato delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente. Consideriamo che:

  • [math]sen(x)=a[/math]

  • [math]cos(x)=b[/math]

  • [math]tg(x)=c[/math]

  • [math]cotg(x)=d[/math]


a,b,c e d sono valori delle funzioni goniometriche. Poiché esiste un rapporto univoco tra angolo e funzione goniometrica, per comprendere quali sono gli angoli a cui corrispondono tali valori, è opportuno utilizzare le funzioni goniometriche inverse. Esse sono:

  • [math]x=arcsen(a)[/math]

  • [math]x=arccos(b)[/math]

  • [math]x=arctg(c)[/math]

  • [math]x=arccotg(d)[/math]


Il discorso, tuttavia, non può essere esteso anche alla situazione inversa: se, infatti, per ogni valore di angolo esiste un solo valore di funzione goniometrica corrispondente (cioè se
[math]\alpha=30°[/math]
, il
[math]cos(\alpha)[/math]
è un unico valore), per un determinato valore di una funzione goniometrica esistono infiniti angoli che possono soddisfarla.

Le funzioni arcoseno e arcocoseno


L'andamento della funzione arcoseno è inverso rispetto a quello del seno. Possiamo dire, infatti, che:
[math]arcsen(y)=1, y=\frac{\pi}{2}[/math]
, quindi in generale
[math]arcsen(y)=x, x=sen(y)[/math]
.
Da ciò è possibile dire che se x deve avere valori intermedi tra 1 e -1, x avrà valori intermedi tra
[math]\frac{-\pi}{2}[/math]
e
[math]\frac{\pi}{2}[/math]
. Questo è l'unico intervallo di angoli considerabile.



Anche il grafico dell'andamento della funzione arcocoseno è inverso rispetto a quello del coseno. Vale, inoltre:
[math]arccos(y)=x[/math]
quindi
[math] x=cos(y)[/math]
. Anche in questo caso x non può avere valori esterni all'intervallo 1 e -1: per questo motivo, l'ampiezza dell'angolo y oscilla tra
[math]0[/math]
e
[math]\pi[/math]


Le funzioni arcotangente e arcocotangente


In questo caso vale lo stesso discorso già fatto per l'arcoseno e l'arcocoseno. Nel caso dell'arcotangente, se si desidera trovare un unico valore è possibile considerare l'intervallo di estremi
[math]\frac{-\pi}{2}[/math]
e
[math]\frac{\pi}{2}[/math]
. Quando si parla di arcocotangente, invece, si considera l'intervallo
[math]0[/math]
e
[math]\pi[/math]

Per arcotangente e arcocotangente vale rispettivamente:

  • [math]arc tan(y)=x, x=tan(y)[/math]
    . L'arcotangente non è univocamente definita per valori pari agli estremi
    [math]\frac{-\pi}{2}[/math]
    e
    [math]\frac{\pi}{2}[/math]
    o per valori esterni all'intervallo

  • [math]arc cotg(y)=x, x=cotg(y)[/math]
    . Esistono più valori di arcocotangente per valore pari agli estremi
    [math]0[/math]
    e
    [math]\pi[/math]
    o per valori esterni all'intervallo



Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni goniometriche inverse vedi anche qua
Estratto del documento

FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE

Vengono assegnate le seguenti funzioni goniometriche:

sen (x) = a

cos (x) = b

tg (x) = c

cotg (x) = d

Dove ovviamente i valori di a e di b sono compresi tra 1 e -1.

Ci si chiede se, conoscendo i valori di a, b, c e d è possibile sapere quali angoli hanno

seno, coseno, tangente e cotangente pari a questi valori.

In altre parole, se in precedenza, noto l’angolo si sono ricavati i valori di seno, coseno,

tangente e cotangente corrispondenti, adesso vogliamo fare esattamente il contrario.

x = arc sen (a)

x = arc cos (b)

x = arc tg (c)

x = arc cotg (d)

Le funzioni goniometriche sono tali per cui, attribuito un preciso valore all’angolo, ne

risulta un unico e preciso valore di seno, coseno, tangente e cotangente. Esiste dunque

un rapporto univoco tra angolo e funzione goniometrica.

Non è invece la stessa cosa per le funzioni goniometriche inverse, nelle quali, ad un

preciso valore dell’arco seno, arco coseno, arco tangente o arco cotangente esistono

degli angoli che soddisfano l’equazione. Le funzioni goniometriche inverse si

infiniti valori

dicono dunque “infinitivoche”.

Tuttavia queste funzioni possono “diventare” univoche anch’esse a seconda di quale sia

l’intervallo di osservazione considerato. Vediamo qualche esempio.

ANDAMENTO DELLA FUNZIONE SENO:

Nell’intervallo tra 0 e π, come è possibile vedere dal grafico, ci sono già due valori di

angoli che hanno lo stesso seno.

Considerando invece l’intervallo tra –π/2 e π/2, notiamo che al suo interno per ogni

valore del seno corrisponde un unico valore di angolo.

1

ESEMPIO:

arc sen (y) = 1 → y = π/2

Abbiamo trovato l’unico angolo –all’interno dell’intervallo considerato- che abbia un seno

pari ad 1.

arc sen (y) = x

y è un angolo il cui seno è pari ad x → x = sen (y)

x non può andare oltre 1 e -1, mentre y non può andare –se vogliamo un unico valore-

oltre –π/2 e π/2.

E’ ovvio che si sarebbero potuti considerare altri intervalli ugualmente “univoci”.

ANDAMENTO DELLA FUNZIONE ARC SENO:

Come si nota, il grafico è inverso a quello del seno, con ascisse ed ordinate in posizione

inversa.

ANDAMENTO DELLA FUNZIONE COSENO:

2

Stavolta, come è possibile vedere dal grafico, è necessario scegliere nell’intervallo tra 0 e

π, per ottenere una corrispondenza tra angoli e funzione goniometrica inversa.

Anche in questo caso è ovvio che si sarebbero potuti considerare altri intervalli

ugualmente “univoci”.

ESEMPIO:

arc cos (y) = x

y è un angolo il cui coseno è pari ad x → x = cos (y)

x non può andare oltre 1 e -1, mentre y non può andare –se vogliamo determinare un

unico valore- oltre 0 e π.

ANDAMENTO DELLA FUNZIONE ARC COSENO:

Come si nota, il grafico è inverso a quello del coseno, con ascisse ed ordinate in posizione

inversa. 3

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