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Cosa sono le funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche (o trigonometriche) sono funzioni che coinvolgono gli angoli e associano ad essi dei valori numerici aventi precisi significati. Sono funzioni goniometriche il seno, il coseno, la tangente e la cotangente. Per capire perfettamente questo concetto, però, è necessario partire dalla sua applicazione nei triangoli rettangoli e da concetti come la circonferenza goniometrica.
Le funzioni goniometriche e i triangoli rettangoli
Supponiamo di avere un triangolo rettangolo: all'interno di quest'ultimo sono presenti tre lati e tre angoli. Essendo il triangolo rettangolo la metà di un rettangolo, la somma delle ampiezze degli angoli interni ammonta a 180°. Questi ultimi sono:
- un angolo retto, da cui appunto deriva il nome triangolo rettangolo
- due angoli acuti. Attenzione: in un triangolo rettangolo non è possibile trovare angoli ottusi in quanto, poiché un angolo ottuso ha un'ampiezza maggiore dell'angolo retto, la somma degli angoli interni supererebbe l'angolo piatto
mentre i lati possono essere classificati in:
- ipotenusa, ossia il lato più lungo del triangolo rettangolo. E' il lato che si trova di fronte all'angolo retto.
- cateti, cioè i due lati più corti. Per una maggiore chiarezza, viene definito cateto maggiore il lato più lungo dopo l'ipotenusa e cateto minore quello più corto
Nei triangoli rettangoli, le funzioni goniometriche consentono di calcolare la lunghezza dell'ipotenusa o di un cateto conoscendo l'ampiezza di un angolo e quello del lato adiacente o opposto. In particolare:
- si definisce seno dell'angolo [math]\alpha[/math][math]sen(\alpha)[/math]il rapporto tra la lunghezza del lato opposto all'angolo[math]\alpha[/math]e l'ipotenusa. Definita[math]I[/math]l'ipotenusa e[math]l[/math]la lunghezza del lato opposto, il seno è:[math]sen(\alpha)=\frac{l}{I}[/math]
- si definisce coseno dell'angolo [math]\alpha[/math]([math]cos(\alpha)[/math]), invece, il rapporto tra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa. Chiamando[math]l_a[/math]la lunghezza del lato adiacente e[math]I[/math]l'ipotenusa, il coseno è:[math]sen(\alpha)=\frac{l_a}{I}[/math]
- La tangente dell'angolo è, invece, il rapporto tra seno e coseno, ossia [math]tan(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}[/math]
- La contangente è l'inverso della tangente, ossia il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo[math]cotan(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}[/math]
E' opportuno ricordare che tangente e cotangente possono assumere qualsiasi valore, mentre seno e coseno hanno valore compreso tra -1 e 1.
Le funzioni goniometriche e la circonferenza goniometrica
Seno e coseno possono essere anche rappresentate utilizzando la circonferenza goniometrica. La circonferenza goniometrica non è altro che una circonferenza avente raggio e centrata nell'origine di un piano cartesiano. In questo caso, è possibile valutare il coseno e il seno dell'angolo disegnandolo in modo che una delle sue due semirette corrisponda all'asse delle x. Prolungando l'altra semiretta e proiettando sugli assi il punto d'intersezione tra la semiretta e la circonferenza è possibile definire seno e coseno. In particolare, definito
- [math]x_b[/math]è il valore del coseno, ossia della proiezione sull'asse delle x
- [math]y_b[/math]è il valore del seno, ossia della proiezione sull'asse delle y
Cosa sono le funzioni goniometriche inverse
Abbiamo precedentemente parlato delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente. Consideriamo che:
- [math]sen(x)=a[/math]
- [math]cos(x)=b[/math]
- [math]tg(x)=c[/math]
- [math]cotg(x)=d[/math]
a,b,c e d sono valori delle funzioni goniometriche. Poiché esiste un rapporto univoco tra angolo e funzione goniometrica, per comprendere quali sono gli angoli a cui corrispondono tali valori, è opportuno utilizzare le funzioni goniometriche inverse. Esse sono:
- [math]x=arcsen(a)[/math]
- [math]x=arccos(b)[/math]
- [math]x=arctg(c)[/math]
- [math]x=arccotg(d)[/math]
Il discorso, tuttavia, non può essere esteso anche alla situazione inversa: se, infatti, per ogni valore di angolo esiste un solo valore di funzione goniometrica corrispondente (cioè se
Le funzioni arcoseno e arcocoseno
L'andamento della funzione arcoseno è inverso rispetto a quello del seno. Possiamo dire, infatti, che:
Da ciò è possibile dire che se x deve avere valori intermedi tra 1 e -1, x avrà valori intermedi tra

Anche il grafico dell'andamento della funzione arcocoseno è inverso rispetto a quello del coseno. Vale, inoltre:
Le funzioni arcotangente e arcocotangente
In questo caso vale lo stesso discorso già fatto per l'arcoseno e l'arcocoseno. Nel caso dell'arcotangente, se si desidera trovare un unico valore è possibile considerare l'intervallo di estremi
Per arcotangente e arcocotangente vale rispettivamente:
- [math]arc tan(y)=x, x=tan(y)[/math]. L'arcotangente non è univocamente definita per valori pari agli estremi[math]\frac{-\pi}{2}[/math]e[math]\frac{\pi}{2}[/math]o per valori esterni all'intervallo
- [math]arc cotg(y)=x, x=cotg(y)[/math]. Esistono più valori di arcocotangente per valore pari agli estremi[math]0[/math]e[math]\pi[/math]o per valori esterni all'intervallo
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni goniometriche inverse vedi anche qua
FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Vengono assegnate le seguenti funzioni goniometriche:
sen (x) = a
cos (x) = b
tg (x) = c
cotg (x) = d
Dove ovviamente i valori di a e di b sono compresi tra 1 e -1.
Ci si chiede se, conoscendo i valori di a, b, c e d è possibile sapere quali angoli hanno
seno, coseno, tangente e cotangente pari a questi valori.
In altre parole, se in precedenza, noto l’angolo si sono ricavati i valori di seno, coseno,
tangente e cotangente corrispondenti, adesso vogliamo fare esattamente il contrario.
x = arc sen (a)
x = arc cos (b)
x = arc tg (c)
x = arc cotg (d)
Le funzioni goniometriche sono tali per cui, attribuito un preciso valore all’angolo, ne
risulta un unico e preciso valore di seno, coseno, tangente e cotangente. Esiste dunque
un rapporto univoco tra angolo e funzione goniometrica.
Non è invece la stessa cosa per le funzioni goniometriche inverse, nelle quali, ad un
preciso valore dell’arco seno, arco coseno, arco tangente o arco cotangente esistono
degli angoli che soddisfano l’equazione. Le funzioni goniometriche inverse si
infiniti valori
dicono dunque “infinitivoche”.
Tuttavia queste funzioni possono “diventare” univoche anch’esse a seconda di quale sia
l’intervallo di osservazione considerato. Vediamo qualche esempio.
ANDAMENTO DELLA FUNZIONE SENO:
Nell’intervallo tra 0 e π, come è possibile vedere dal grafico, ci sono già due valori di
angoli che hanno lo stesso seno.
Considerando invece l’intervallo tra –π/2 e π/2, notiamo che al suo interno per ogni
valore del seno corrisponde un unico valore di angolo.
1
ESEMPIO:
arc sen (y) = 1 → y = π/2
Abbiamo trovato l’unico angolo –all’interno dell’intervallo considerato- che abbia un seno
pari ad 1.
arc sen (y) = x
y è un angolo il cui seno è pari ad x → x = sen (y)
x non può andare oltre 1 e -1, mentre y non può andare –se vogliamo un unico valore-
oltre –π/2 e π/2.
E’ ovvio che si sarebbero potuti considerare altri intervalli ugualmente “univoci”.
ANDAMENTO DELLA FUNZIONE ARC SENO:
Come si nota, il grafico è inverso a quello del seno, con ascisse ed ordinate in posizione
inversa.
ANDAMENTO DELLA FUNZIONE COSENO:
2
Stavolta, come è possibile vedere dal grafico, è necessario scegliere nell’intervallo tra 0 e
π, per ottenere una corrispondenza tra angoli e funzione goniometrica inversa.
Anche in questo caso è ovvio che si sarebbero potuti considerare altri intervalli
ugualmente “univoci”.
ESEMPIO:
arc cos (y) = x
y è un angolo il cui coseno è pari ad x → x = cos (y)
x non può andare oltre 1 e -1, mentre y non può andare –se vogliamo determinare un
unico valore- oltre 0 e π.
ANDAMENTO DELLA FUNZIONE ARC COSENO:
Come si nota, il grafico è inverso a quello del coseno, con ascisse ed ordinate in posizione
inversa. 3