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Funzione esponenziale: caratteristiche e grafici


Assegnato un numero reale positivo a ≠ 1 [a
[math]R^+[/math]
- {1}], si definisce funzione esponenziale, la funzione che:
Per ogni
[math] x ∈ R[/math]
associa
[math] a^x ∈ R^+ -{1}[/math]
.
Il valore di a dev'essere ≠ 1 in quanto per a=1 la funzione rappresenterebbe una retta di equazione y=1.
Si possono distinguere due casi:
  • 1) il caso in cui
    [math]a[/math]
    [math]>1[/math]
    ;
    2) il caso in cui
    [math]0<[/math]
    [math]a[/math]
    [math]<1[/math]
    .

1° CASO.

  • - la funzione passa per il punto A(0;1)
    - la funzione
    [math]a^x[/math]
    è > 0
    - la funzione è strettamente crescente, al crescere del valore di x, cresce anche il valore di y
    - l'asse delle ascisse è asintoto orizzontale a sinistra, quindi al tendere di x a - ∞, y tende a 0.

2° CASO.

  • - la funzione passa per il punto A(0;1)
    - la funzione
    [math]a^x[/math]
    è > 0
    - la funzione è strettamente decrescente, al decrescere del valore di x, cresce il valore di y (quindi tende a +∞)
    - l'asse delle ascisse è asintoto orizzontale a destra, quindi al tendere di x a + ∞, y tende a 0.

{Excursus}
Una retta r si definisce asintoto per una curva α, se e solo se preso un punto P sulla curva, la sua distanza dalla retta tende a 0 al tendere del punto all'∞.
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