In questo appunto di Matematica si trattano le funzioni esponenziali, le loro proprietà e se ne descrivono i grafici nel piano cartesiano in funzione del valore della base, con una introduzione sulle potenze ad esponente intero e razionale e sul concetto di funzione.
Indice
Le potenze
Sia data l’espressione
a^n
[/math]
con a ∈ R e con n ∈ N oppure n ∈ Q oppure n ∈ Z oppure n ∈ R (a numero reale ed n numero naturale o razionale o relativo o reale), tale espressione significa che:
la potenza
a^n
[/math]
rappresenta:
- il prodotto di n fattori tutti uguali ad a, se [math]
n \ge 2
[/math] - il numero a, se n = 1
- il numero 1, se n = 0.
Si ricorda che la scrittura
0^0
[/math]
è priva di significato.
Il numero a è la base, mentre il numero n è l’esponente.
Date le potenze
a^n
[/math]
e
a^m
[/math]
, valgono le seguenti proprietà:
- [math]
(a^n) (a^m) = a^{n + m}
[/math] - [math]
(a^n) : (a^m) = a^{n - m}
[/math] - [math]
(a^n)^m = a^{n•m}
[/math] - [math]
(a^n) (b^n) = (a•b)^n
[/math] -
[math]con b ≠ 0
(a^n) : (b^n) = (a : b)^n
[/math] - [math]
(a^{-n}) = \frac{1}{a^n} [/math] -
[math].
a^{n/m} = \sqrt[m] {a^n}
[/math]
Le funzioni e le loro proprietà
Dati due insiemi A e B chiameremo funzione una relazione fra i due insiemi A e B che ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Tale relazione viene anche chiamata corrispondenza univoca in base al fatto che ad ogni elemento di A corrisponde un unico elemento di B.
A viene chiamato insieme di partenza o dominio; B viene chiamato insieme di arrivo o codominio o immagine.
Gli elementi dell’insieme di partenza vengono chiamati variabili indipendenti, mentre gli elementi dell’insieme di arrivo vengono chiamati variabili dipendenti.
Le funzioni possono essere classificate in:
- razionali intere;
- razionale fratta;
- irrazionale;
- esponenziali;
- logaritmiche;
- trigonometriche;
- composte.
Una funzione può essere definita come:
- iniettiva;
- suriettiva;
- biiettiva.
Diremo che una funzione dall’insieme A all’insieme B è iniettiva, se ogni elemento di B è immagine al più di un elemento di A.
Una funzione da A a B si dice suriettiva, quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
Diremo che una funzione dall’insieme A all’insieme B è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.
Sarà utile, in seguito distinguere fra funzioni crescenti e funzioni decrescenti in senso stretto ed in senso lato:
diremo che una funzione y = f(x) definita sul dominio A è crescente in senso stretto (o strettamente crescente) se comunque scelti
x_1
[/math]
e
x_2
[/math]
in A, con
x_1 [/math]
, si ha
f(x_1) [/math]
.
Diremo che la funzione di cui sopra è crescente in senso lato se comunque scelti
x_1
[/math]
e
x_2
[/math]
con
x_1 [/math]
, si ha
f(x_1) \le f(x_2)
[/math]
.
Diremo che una funzione y = f(x) definita sul dominio A è decrescente in senso stretto (o strettamente decrescente) se comunque scelti
x_1
[/math]
e
x_2
[/math]
in A, con
x_1 [/math]
, si ha
f(x_1) > f(x_2)
[/math]
.
Diremo che la funzione di cui sopra è decrescente in senso lato se comunque scelti
x_1
[/math]
e
x_2
[/math]
con
x_1 [/math]
, si ha
f(x_1) \ge f(x_2)
[/math]
.
La funzione esponenziale
Sia data la funzione
y = a^x
[/math]
con x ∈ R
tale funzione esiste sempre per valori di a >0 ed a ≠ 1 ossia per
a ∈ R^+
[/math]
Per tale funzione si distinguono due casi:
- a > 1.
- 0
Definiamo la potenza
a^x
[/math]
di un numero reale a, con a > 1, e con esponente reale x > 0, come quell’unico numero reale maggiore di tutte le potenze di a con esponenti razionali che approssimano x per difetto e minore di tutte le potenze di a con esponenti razionali che approssimano x per eccesso.
Chiameremo potenza di
a^x
[/math]
di un numero reale a, con 0 0 quell’unico numero reale maggiore di tutte le potenze di a con esponenti razionali che approssimano x per eccesso e minore di tutte le potenze di a con esponenti razionali che approssimano x per difetto.
Si tengano presenti i seguenti casi particolari:
-
[math]per ogni valore di x reale
1^x = 1
[/math] -
[math]per ogni valore di x reale positivo
0^x = 0
[/math] -
[math]per qualunque valore di a positivo
a^0 = 1
[/math]
Mentre sono prive di significato le potenze con base zero ed esponente nullo o negativo e le potenze aventi per base un numero reale negativo.
Il caso in cui la variabile x assuma valori negativi rientra nella casistica in cui 0
Lo studio che affrontiamo riguarda le potenze
a^x
[/math]
con base reale a > 0, che sono le sole ad essere definite con esponente x reale qualsiasi.
Posta tale condizione, essendo la base a positiva, il valore della potenza è sempre positivo:
a > 0
quindi
a^x > 0
[/math]
per ogni valore di x reale.
In base alle precedenti considerazioni e caratteristiche possiamo dare la seguente definizione:
chiameremo funzione esponenziale ogni funzione del tipo:
y = a^x
[/math]
con
a ∈ R^+
[/math]
e
x ∈ R
[/math]
Il campo di esistenza di tale funzione è tutto l’insieme dei numeri reali, R, mentre il codominio è costituito dai numeri reali positivi, per cui tale funzione sarà sempre positiva.
Grafico della funzione esponenziale
Sia dato un riferimento cartesiano ortogonale Oxy, di origine O.
Il grafico di una funzione esponenziale dipende dal valore della base a.
Il campo di esistenza, in ogni caso, è costituito da tutto l’insieme dei numeri reali; tali funzioni sono sempre positive, ossia sempre sopra l’asse delle ascisse x, che non intersecano mai (infatti nessun numero elevato ad un qualsiasi valore ci fornisce zero) ed a seconda del valore assegnato ad a, sempre strettamente crescenti o strettamente decrescenti.
Per ogni valore di a, con a ≠ 1, la funzione esponenziale ha sempre un asintoto orizzontale in y = 0.
a > 1
Supponiamo di avere la funzione esponenziale
y = a^x
[/math]
con base a maggiore di 1.
Essendo il dominio di tale funzione tutto l’insieme dei numeri reali, analizziamo l’andamento del suo grafico (quindi dei valori assunti dalla y) partendo da valori che tendono a meno infinito per poi risalire a valori che tendono a più infinito, passando per x = 0.
Se i valori delle x assumono valori infinitamente negativi, la funzione
y = a^x
[/math]
assume la seguente forma
y = (\frac{1}{a})^{|x|}
[/math]
ossia
y = (\frac{1}{(a) ^{|x|}})
[/math]
per cui il denominatore tende a valori sempre più grandi, mentre il numeratore rimane uno:
se ne conclude che il valore generale della frazione tende a zero (poiché si divide uno per numeri sempre più grandi).
Quindi se x assume valori infinitamente negativi (ossia tende a meno infinto), la funzione
y = a^x
[/math]
tende a zero.
Ad esempio si guardino questi valori
y = \frac{1}{a^2}
[/math]
y = \frac{1}{a^3}
[/math]
y = \frac{1}{a^4}
[/math]
y = \frac{1}{a^5}
[/math]
y = \frac{1}{a^6}
[/math]
e così via (il valore dell’esponente deve essere inteso come valore assoluto della effettiva x Per valori della x che crescono verso lo zero, la funzione
y = a^x
[/math]
assume valori crescenti (funzione strettamente crescente).
Quando x = 0, si ha che
y = a^0
[/math]
ossia y = 1: punto di intersezione con l’asse y.
Per valori della x positivi, la funzione
y = a^x
[/math]
continua ad essere strettamente crescente ed assume valori sempre maggiori: diremo che per valori delle x tendenti a più infinito, i valori della y tendono a più infinito.
y = a^2 [/math]
con n numero che tende a più infinito.
2° CASO.
0
Se la base della funzione esponenziale analizzata è compresa fra zero ed uno, avremo che
a = \frac{1}{m}
[/math]
La funzione diventa
y = (\frac{1}{m})^x
[/math]
a^x = (\frac{1}{m})^x
[/math]
diventa
a^x = m^x
[/math]
per cui la funzione assume valori infinitamente grandi: minore è l’esponente (verso numeri negativi) maggiore sarà il valore della potenza ottenuta.
Man mano che i valori delle x crescono, avvicinandosi allo zero, la funzione decresce (funzione strettamente decrescente).
Per x = 0 la funzione passa per il punto (0;1).
Per valori delle x positivi, la funzione torna ad avere base minore dell’unità quindi per x crescenti verso più infinito assumerà valori sempre più piccoli, tendenti a zero (poiché torniamo a dividere il numero uno per una quantità sempre più grande): il grafico della funzione si schiaccia sull’asse della ascisse.
a = 1
La funzione
y = a^x
[/math]
diventa
y = 1^x
[/math]
e per qualunque valore della x si ha che y = 1 che rappresenta una retta parallela all’asse delle x passante per il punto (0,1).
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni esponenziali vedi anche qua
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