Moltiplicazione: definizione e proprietà

Questo appunto di aritmetica spiega una delle quattro operazioni fondamentali, la moltiplicazione. Attraverso un percorso semplice con diversi esempi illustrativi vogliamo capire l'importanza di questo tipo di operazione, il vantaggio di moltiplicare rispetto alla somma, la sua corretta esecuzione e le proprietà di cui essa gode. Faremo anche dei piccoli esempi pratici per fissare le idee.

Moltiplicazione, sommare addendi uguali

Per introdurre il significato del procedimento dell'operazione della moltiplicazione consideriamo il seguente esempio.

Per puro caso s'incontrano quattro signori ognuno dei quali ha sei capelli sulla testa. Poiché l'unione fa la forza, decidono di fare assieme una passeggiata in centro. Quanti capelli hanno in tutto i quattro signori?

La prima cosa che ci viene in mente è sicuramente l'addizione.

Nel nostro calcolo contiamo quattro volte il gruppo 6 capelli.
Cosa notiamo?
Abbiamo effettuato un’addizione in cui tutti gli addendi sono uguali (6 capelli).
Per questa particolarità (addendi uguali) possiamo velocizzare l'operazione così:

Abbiamo descritto la stessa situazione in un altro modo, in questo caso utilizzando la moltiplicazione. In questa operazione ci sono due numeri che indicano oggetti di diverso genere, 4 indica il numero dei signori, 6 è il numero dei capelli ovvero indica un gruppo composto da elementi uguali tra loro (i capelli).
Diamo la definizione di questa operazione
La moltiplicazione è l'operazione aritmetica che permette di determinare il numero che si ottiene contando insieme più numeri uguali tra loro.
La moltiplicazione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto eseguendo l'addizione di tanti addendi uguali al primo, quanti ne indica il secondo.

La moltiplicazione tra due numeri naturali, ovvero due numeri interi, è sempre possibile e il risultato è ancora un numero naturale.
Il simbolo della moltiplicazione è una “ics”

, oppure un puntino

tra i due numeri.
Esempio:

Come per le altre operazioni aritmetiche, anche i termini della moltiplicazione hanno dei nomi particolari. Si possono indicare genericamente come 1° e 2° fattore oppure il primo fattore viene detto moltiplicando, il secondo fattore viene detto moltiplicatore e il risultato è detto prodotto.
Esempio

• [math] 5 \cdot 7 = 35[/math]
• moltiplicando
  [math]\to 5[/math]
• moltiplicatore
  [math]\to 7[/math]
• prodotto
  [math]\to 35[/math]

Proprietà commutativa della moltiplicazione

Anche la moltiplicazione, come l’addizione gode della proprietà commutativa.
In una moltiplicazione cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia
Vediamo un esempio pratico in cui è applicata questa proprietà.
Martina lavora 5 giorni a settimana per sei ore, dalle 8 del mattino alle 14, Paola invece lavora per sei giorni, anche il sabato dalle 15 alle 20 per 5 ore.
Chi delle due lavora più tempo?
Scriviamo le operazioni che permettono di contare il numero di ore lavorate da ciascuna di loro in una settimana.
Dobbiamo moltiplicare il numero di ore giornaliere per il numero di giorni.
Per Martina abbiamo:

Per Paola abbiamo:

Scopriamo che Martina e Paola lavorano per lo stesso numero di ore, 30 ore settimanali.
Dal punto di vista dei numeri si tratta di due moltiplicazioni che hanno i fattori scambiati e come si può vedere il prodotto è lo stesso.
Vale allora la regola generale. Detti a e b due numeri naturali per la proprietà commutativa della moltiplicazione si ha:

Proprietà associativa della moltiplicazione

Facciamo un esempio pratico anche per vedere come funziona questa proprietà.
Giovanni è un ciclista e si allena con la sua bici quattro giorni alla settimana pedalando per tre ore e di solito in un’ora percorre un circuito lungo 20 km. Quanti km percorre Giovanni in una settimana?
Per rispondere alla domanda possiamo iniziare calcolando per quante ore pedala in una settimana e poi con questo dato calcoliamo il numero dei chilometri totali percorsi.
Moltiplichiamo il numero dei giorni 4 per il numero di ore pedalate 3 e poi per i chilometri percorsi in ciascuna ora:

Concludiamo che in una settimana Giovanni percorre 240 km.
Potevamo procedere anche diversamente ad esempio calcolavano prima quanti km sono percorsi in un giorno e poi i km percorsi in una settimana. Vediamo:

Come si vede, il risultato non cambia. Questo è un esempio della proprietà associativa della moltiplicazione.
Vale allora la regola generale:

Quando abbiamo un’espressione in cui ci sono solo moltiplicazioni possiamo usare il termine prodotto per indicare il risultato anche se sono presenti più di due fattori. Le proprietà della moltiplicazione ci assicurano infatti, che il risultato dipende solamente dai numeri e non dal loro ordine o dall'ordine in cui vengono svolte le operazioni.

Proprietà distributiva della moltiplicazione

Per moltiplicare un numero per una somma (o per una differenza) si può moltiplicare il numero per ciascun termine della somma (o della differenza) e poi sommare (o sottrarre) i prodotti ottenuti. In simboli:

Elemento neutro ed elemento assorbente della moltiplicazione

In una moltiplicazione che ha un fattore uguale a uno, il prodotto dà come risultato sempre l'altro fattore, per questo motivo il numero viene chiamato elemento neutro.
Il numero 1 si dice dunque elemento neutro della moltiplicazione, perché moltiplicato per un qualunque numero naturale lo lascia invariato
Detto

un qualsiasi numero naturale, abbiamo che:

Una moltiplicazione con un fattore che vale zero dà come risultato un prodotto nullo punto per questo motivo lo zero viene chiamato elemento assorbente della moltiplicazione.
Detto

un qualsiasi numero naturale, abbiamo che:

Legge di annullamento del prodotto
Allora se il prodotto di una moltiplicazione è zero allora almeno uno dei fattori è anch'esso zero, mentre l'altro può essere un qualunque numero naturale.

Esercizi

• [math] 8+8+8=8 \cdot 3=24[/math]
• [math] 4+4+4=4 \cdot 3=12[/math]
• [math] 12+12=12 \cdot 2=24[/math]
• [math] 20+20+20=20 \cdot 3=60[/math]
• [math] 5+5=5 \cdot 2=10[/math]
• [math] 6+6+6=6 \cdot 3=18[/math]
• [math] 7+7+7+7=7\cdot 4=28[/math]

Moltiplicazioni in riga e moltiplicazioni in colonna

Negli esempi che abbiamo fatto ci sono numeri piccoli quindi le moltiplicazioni sono facili da eseguire in quanto basta ricordare le tabelline
Se uno dei due fattori è una potenza di 10 anche in questo caso le moltiplicazioni si possono effettuare rapidamente, ricordando che il nostro sistema di numerazione è decimale.
Per moltiplicare un numero per 10, 100, 1000 bisogna aggiungere alla sua destra tanti zeri quanti sono quelli che si trovano in 10, 100, 1000
Vediamo alcuni esempi:

• [math] 5\cdot 10=50[/math]
• [math] 40 \cdot 100=4.000[/math]
• [math] 120 \cdot 1000=120.000[/math]

Le moltiplicazioni, specialmente quelle complesse a due, tre, quattro o più cifre, si possono svolgere in colonna. Il metodo della moltiplicazione in colonna sfrutta la proprietà distributiva della moltiplicazione.
Il primo passaggio è la costruzione delle colonne. Ogni cifra dovrà avere la sua colonna per rispettale la posizione: le unità (u), le decine (da), le centinaia (h) e così via.
Nella foto c’è un esempio di moltiplicazione in colonna tra due fattori a due cifre.

Per verificare se il risultato è corretto si può eseguire la prova della moltiplicazione
Ricordiamo inoltre che l’operazione inversa della moltiplicazione e la divisione.

Vedi qua per la divisione con la virgola