Funzione Tangente: definizione, rappresentazione e proprietà

Indice

1. La Funzione Tangente
2. Periodicità della Funzione Tangente
3. Grafico della funzione tangente
4. Relazione tra tangente e coefficiente angolare di una retta
5. Approfondimenti

La Funzione Tangente

Consideriamo, sulla circonferenza goniometrica, un angolo

compreso tra

e

, e un punto P sulla circonferenza, tale che l'arcoAP coincida con l'angolo

. Adesso tracciamo una retta r passante per O e P, e una retta t perpendicolare all'asse x e passante per A; tali rette si intersecheranno in un punto che chiamiamo T.

L’ordinata del punto T si definisce tangente dell'angolo

.

È importante notare che l'intersezione tra le rette r e t esiste sempre, ad eccezione del caso in cui queste sono parallele; ciò si verifica per tutti gli angoli del tipo

, ecc.
Nel prossimo paragrafo vedremo come varia il valore della tangente al variare dell’angolo

.

Periodicità della Funzione Tangente

Come tutte le funzioni goniometriche, (come le funzioni seno e coseno), anche la funzione tangente presenta una periodicità, ovvero assume gli stessi valori per diversi valori di

. Vediamo ora nel dettaglio quali sono questi valori e con quale periodicità si ripetono, oltre ai valori massimi e minimi entro cui può variare la tangente.

• Primo caso:
  [math]\alpha=0 \Rightarrow \tan{ 0} = 0 [/math]

  Oppure
  

  [math]\alpha = 2 \pi \Rightarrow \tan{ 2\pi} = 0 [/math]

  il punto T coincide con il punto A e le rette t ed r sono perpendicolari tra loro. Inoltre, questa condizione si può verificare anche nel caso in cui

  [math]\alpha=\pi \Rightarrow \tan {\pi} = 0 [/math]
• Secondo caso:
  [math] 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2} \Rightarrow \tan{\alpha} \gt 0 [/math]

  il punto T appartiene al primo quadrante. Possiamo vedere che in questo caso la tangente aumenta all'aumentare dell’ampiezza dell’angolo, così come nel terzo quadrante dove

  [math] \pi \lt \alpha \lt \frac{3}{2}\pi \Rightarrow \tan{\alpha} \gt 0 [/math]
• Terzo caso:
  [math] \frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi \Rightarrow \tan{\alpha} \lt 0 [/math]

  Il punto T appartiene al secondo quadrante e, partendo da un valore negativo, all'aumentare dell'ampiezza nell'angolo, aumenta la sua tangente che si avvicina sempre più allo zero. Tuttavia, questo succede anche quando
  

  [math] \frac{3}{2}\pi \lt \alpha \lt 2\pi \Rightarrow \tan{\alpha} \lt 0 [/math]

  Cioè nel quarto quadrante.

• Quarto caso:
  [math] \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \tan{\alpha} =+\infty [/math]

  questo è il caso in cui le due rette r e t sono parallele tra loro, di conseguenza non c è nessun punto in cui queste si incontrano e il valore della tangente è pari a

  [math]+ \infty [/math]
  . La stessa situazione si verifica quando
  [math] \alpha = -\frac{\pi}{2}[/math]
  , tuttavia in questo caso il valore della tangente è negativo quindi avremo
  [math] \tan{\alpha} =-\infty [/math]

In base a quanto visto possiamo dire che la funzione tangente è una funzione periodica tale che:

Poiché i valori assunti dalla tangente nell'intervallo

sono gli stessi che assume nell'intervallo

. Quindi possiamo generalizzare e scrivere che:

dove

, cioè appartiene all’insieme dei numeri naturali . Ciò significa che la funzione tangente è periodica di periodo

, ovvero quando :

con

.

In particolare, vediamo che man mano l'angolo

, appartenente al primo quadrante, si avvicina a

, la sua tangente aumenta mentre il punto T si allontana dall'asse x. Quindi, possiamo affermare che il limite di

, per

che tende a

è uguale a

, e si scrive:

Con un ragionamento analogo, si può affermare che il limite di

, per

che tende a

è uguale a

,
di

, per

che tende a

, restando maggiore di

, è uguale a

, e si scrive:

Nel prossimo paragrafo è presente una rappresentazione grafica di quanto detto finora.

Grafico della funzione tangente

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, la tangente è una funzione periodica, di periodo

, di conseguenza possiamo rappresentare la funzione

in un grafico mettendo in ascissa il valore dell’angolo

e in ordinata il corrispettivo valore della tangente. In particolare, per la sua periodicità possiamo dire che si ripeterà lo stesso andamento dell'intervallo (

) lungo tutto l'asse x.
Inoltre, nei punti in cui la tangente non è definita, possiamo tracciare delle rette verticali, perpendicolari all'asse x, che rappresentano i cosiddetti asintoti della curva: la funzione tangente si avvicinerà sempre di più ad essi, senza mai toccarli mai.

Dal grafico possiamo notare che la funzione

è una funzione dispari, poiché il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi. Si ha quindi che:

A questo punto vedremo invece, nel prossimo paragrafo, quale relazione intercorre tra la tangente e il coefficiente angolare di una retta.

Relazione tra tangente e coefficiente angolare di una retta

Il coefficiente angolare di una retta, esprime la pendenza di una retta rispetto all’asse delle ascisse, e può essere calcolata tramite il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto qualunque appartenente a tale retta.

Consideriamo adesso le rette r e t che abbiamo rappresentato precedentemente sulla circonferenza goniometrica. Poiché il punto T, di coordinate

appartiene alla retta r, possiamo affermare che il coefficiente angolare della retta r è dato da:

Possiamo applicare lo stesso ragionamento considerando il punto P, anch'esso appartenente alla retta r, e di coordinate

, e quindi il coefficiente angolare sarà:

Da ciò, possiamo affermare che il coefficiente angolare di una retta r è la tangente goniometrica dell'angolo orientato di misura

Approfondimenti

In questo paragrafo sono presenti dei link di approfondimento riguardante gli argomenti trattati nei paragrafi precedenti.
Goniometria
limite
asintoto verticale