Numeri reali e gli insiemi numerici: definizioni

In quest'appunto troverai tutto il necessario per comprendere gli insiemi numerici e in particolare i numeri reali.

Cosa sono gli insiemi numerici e perché è importante conoscerli

In matematica, gli insiemi numerici sono dei raggruppamenti contenenti un numero infinito di elementi accomunati da una o più caratteristiche. Conoscere gli insiemi numerici e i relativi simboli aiuta a scrivere in modo corretto e chiaro i domini di funzione, le ipotesi dei teoremi etc.
Nei seguenti paragrafi faremo un breve excursus sugli insiemi numerici, per poi spostare il focus sui numeri reali e sulle proprietà dell'insieme.

Quali sono gli insiemi numerici

Gli insiemi numerici sono cinque, ossia:

• i numeri naturali
  [math]N[/math]
  : quest'insieme contiene tutti i numeri interi non negativi


• i numeri interi relativi
  [math]Z[/math]
  , che includono tutti i numeri interi positivi e negativi


• i numeri razionali relativi
  [math]Q[/math]
  , ossia tutti i numeri positivi e negativi esprimibili attraverso un rapporto


• i numeri reali
  [math]I[/math]
  , che approfondiremo a sufficienza nei prossimi paragrafi e che includono tutti gli insiemi già citati, incluso lo zero


• i numeri complessi
  [math]R[/math]
  : è l'insieme maggiore e contiene tutti gli altri. Fanno parte di quest'insieme i numeri reali e quelli immaginari, come le radici con indice pari di numeri negativi e le equazioni di grado secondo aventi
  [math]\delta < 0[/math]

Cosa sono i numeri reali

I numeri reali sono numeri che appartengono o all'insieme dei numeri razionali o all'insieme dei numeri irrazionali, i quali vengono definiti come elementi separatori di due classi contigue di numeri razionali.
L'insieme dei numeri reali può quindi essere considerato come l'unione dell'insieme dei numeri razionali e dell'insieme dei numeri irrazionali.

In termici insiemistici possiamo dire che ,dove:

• [math]R[/math]
  rappresenta l'insieme dei numeri reali


• [math]Q[/math]
  è l'insieme dei numeri razionali


• [math]I[/math]
  l'insieme dei numeri irrazionali


• [math]\cup[/math]
  l'operazione di unione tra insiemi

Qual è la definizione di numero irrazionale

Si definisce numero irrazionale l'elemento separatore di due classi contigue di numeri razionali.
Due classi contigue sono due classi per le quali ogni elemento della prima classe è sempre minore di ogni elemento della seconda e per le quali quando . Ciò equivale a dire che la distanza tra gli elementi della 1° e della 2° classe è prossima allo zero quando . Un esempio di numero irrazionale è visibile nell'allegato che trovate insieme a questi appunti.

Le proprietà dei numeri reali

Concludiamo quest'appunto con una breve precisazione riguardante le proprietà dell'insieme dei numeri reali. Esse sono:

• [math]R[/math]
  è un insieme infinito perché contiene infiniti elementi


• [math]R[/math]
  è illimitato superiormente, cioè non ha una fine. L'estremo superiore di questo insieme è quindi +∞


• [math]R[/math]
  è illimitato inferiormente, cioè non ha inizio. L'estremo inferiore di questo insieme è quindi -∞


• [math]R[/math]
  è un insieme denso, perché tra due numeri reali cade sempre un altro numero reale


• [math]R[/math]
  è un insieme non numerabile, perchè contiene l'insieme dei numeri irrazionali, i cui elementi non sono numerabili

Per ulteriori approfondimenti sui numeri reali e sugli insiemi numerici vedi anche qua