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Numeri reali


I numeri reali sono numeri che appartengono o all'insieme dei numeri razionali o all'insieme dei numeri irrazionali, i quali vengono definiti come elementi separatori di due classi contigue di numeri razionali.
L'insieme dei numeri reali può quindi essere considerato come l'unione dell'insieme dei numeri razionali e dell'insieme dei numeri irrazionali.
|R=Q U I, dove "|R" rappresenta l'insieme dei numeri reali, "Q" l'insieme dei numeri razionali, "I" l'insieme dei numeri irrazionali e "U" l'operazione di unione tra insiemi.
Numero irrazionale: Si definisce numero irrazionale l'elemento separatore di due classi contigue di numeri razionali.
Due classi contigue sono due classi per le quali ogni elemento della prima classe è sempre minore di ogni elemento della seconda e per le quali |An-Bn|->0 quando n->∞; cioè, la distanza tra gli elementi della 1° e della 2° classe è prossima allo zero quando n->∞. Un esempio di numero irrazionale è visibile nell'allegato che trovate insieme a questi appunti.
Tornando all'insieme dei numeri reali, vediamone alcune proprietà:
- |R è un insieme infinito perché contiene infiniti elementi.
- |R è illimitato superiormente, cioè non ha una fine.L'estremo superiore di questo insieme è quindi +∞ .
- |R è illimitato inferiormente, cioè non ha inizio. L'estremo inferiore di questo insieme è quindi -∞ .
- |R è un insieme denso, perché tra due numeri reali cade sempre un altro numero reale.
- |R è un insieme non numerabile, perchè contiene l'insieme dei numeri irrazionali, i cui elementi non sono numerabili.
Spero di essere stato esaustivo e chiaro!
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