Introduzione allo studio di funzione: definizione dei concetti fondamentali

In questo appunto di matematica viene analizzato una parte fondamentale dello studio di funzione, cioè il dominio.
Verrà data la definizione di funzione, e verranno descritte le principali proprietà che si possono avere; inoltre verrà definito anche il codominio.

Che cos’è una funzione?

Una funzione matematica è una relazione tra due insieme

[math]A[/math]

e

[math]B[/math]

, chiamati anche dominio e codominio , che associa a ogni elemento del dominio

[math]A[/math]

, uno e un solo elemento del codominio

[math]B[/math]

. Questa relazione si indica con:
Dove dipende da , in questo modo e .
è la variabile indipendente, mentre è variabile dipendete rispetto a .

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qua

Classificazione delle funzioni matematiche

Le funzioni si possono classificare in due macrogruppi:

• Funzioni algebriche;
• Funzioni trascendenti ;

A loro volta le funzioni algebriche si suddividono in:

• Funzioni algebriche razionali intere;
• Funzioni algebriche razionali fratte;
• Funzioni algebriche irrazionali intere;
• Funzioni algebriche irrazionali fratte;

Così come le funzioni algebriche, anche le trascendenti si suddividono in:

• Funzioni trascendenti trigonometriche;
• Funzioni trascendenti logaritmiche;
• Funzioni trascendenti esponenziali;

Introduzione allo studio di funzione

Tutto ciò che è stato spiegato in precedenza è di estrema importanza per svolgere uno studio di funzione.
Lo schema di base a cui bisogna attenersi per poi poter disegnare una qualsiasi funzione è il seguente:

• Determinazione del campo di esistenza o dominio: bisogna, cioè, stabilire dove la funzione è definita;
• Studio del segno: bisogna, cioè, determinare per quali valori della
  [math]x[/math]
  la funzione
  [math] y = f(x) [/math]
  è positiva o negativa;
• Intersezione con gli assi;
• Calcolo dei limiti agli estremi del campo di esistenza per la ricerca di eventuali asintoti;
• Studio del segno della derivata prima per il calcolo dei massimo e dei minimi della funzione;
• Eventualmente, studio del segno della derivata seconda per determinare la convessità.

Per ulteriori approfondimenti sullo studio di funzione vedi anche qua

Dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i possibili valori reali che si possono assegnare alla in modo da ottenere un dato valore di secondo la relazione:

Il dominio viene chiamato anche campo di esistenza, esso contiene tutte le condizioni di esistenza della .
Il dominio di una funzione si indica con .

Codominio di una funzione

Ricordando la definizione di funzione: una funzione matematica è una relazione tra due insieme e , chiamati anche dominio e codominio , che associa a ogni elemento del dominio , uno e un solo elemento del codominio .
Quindi il codominio è l’insieme formato dalle immagini di

[math]A[/math]

.

Immagine e controimmagine della funzione

L’immagine di una funzione è l’insieme dei valori assunti dalla funzione nel suo dominio. Quindi è contenuta nell’insieme di arrivo della funzione, che è il suo codominio.
Di conseguenza, sarà ovvio che l’insieme delle controimmagini è il dominio della relazione stessa.

Proprietà delle funzioni

Le principali proprietà delle funzioni sono:

• Funzione iniettiva
• Funzione suriettiva
• Funzione biunivoca
• Funzione inversa
• Funzione pari
• Funzione dispari

Una funzione è iniettiva se ogni elemento di

è l’immagine al massimo di un elemento di ; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.
Una funzione è suriettiva se ogni elemento di è l’immagine al massimo di un elemento di ; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.
Una funzione è biunivoca se ogni elemento di è raggiunto da un solo elemento di ; in altre parole, una funzione è biunivoca o biettiva quando è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva.
La funzione inversa esiste solo per le funzioni biunivoche, ed è quella per cui ogni elemento del dominio è raggiunto da un solo elemento del condominio.
Una funzione che possiede la sua inversa viene chiamata invertibile.
Una funzione è pari se è simmetrica rispetto all’asse delle .
Vale la seguente relazione: .
Una funzione è dispari se è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Vale la seguente relazione: .

Segno di una funzione

Data la funzione dobbiamo studiarne il segno, cioè individuare per quali intervalli del dominio il grafico della funzione si trova sopra l’asse e per quali valori sotto l’asse .
Infatti, a seconda dei valori di potrà risultare positiva o negativa.
Per trovare il segno il segno della funzione, è necessario risolvere la disequazione .
Il grafico della funzione sarà nel semipiano positivo delle per quei valori che verificano la disequazione. Quindi la funzione è positiva.
Al contrario, il grafico della funzione si troverà nel semipiano negativo delle , per quei valori che non verificano la disequazione e la funzione sarà negativa.