Cos'è una funzione e come classificarle

Cos'è una funzione e come effettuare le classificazioni

In matematica, si definisce funzione una relazione che lega un dominio e un codominio.

In particolare, questa relazione collega un elemento del dominio a un solo elemento del codominio.
Le funzioni possono essere classificate in tre gruppi, ossia:

• funzioni iniettive
• funzioni suriettive
• funzioni biunivoche

Approfondiremo queste tre categorie nei prossimi paragrafi, fornendo degli esempi numerici per ogni tipologia di funzione.

Definizione di funzione iniettiva

Sia

una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che

è una funzione iniettiva, o anche che è un'iniezione, se, comunque si scelgano due elementi

, allora

oppure in forma equivalente:

.

In altre parole diciamo che f è una funzione iniettiva se elementi distinti hanno sempre immagini diverse, oppure, equivalentemente, se due elementi che hanno la stessa immagine coincidono, o ancora, se ciascun elemento di B è l'immagine, al più, di un solo elemento di A. (figura)

Logaritmo, esponenziale, radice quadrata e retta sono funzioni iniettive, in quanto si basano su una funzione che lega elementi distinti del dominio a elementi distinti del codominio. Nel caso della retta, ad esempio, data una coordinata y apparterrà soltanto un punto di specifica coordinata x.

Esempi di funzioni non iniettive sono la parabola, il coseno, il seno e la tangente. In una parabola, ad esempio, possono esistere due punti aventi lo stesso valore di ordinata, per questo motivo a un unico valore del dominio possono corrispondere più valori del codominio.

Definizione di funzione suriettiva

Sia

una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che

è una funzione suriettiva, o anche che è una suriezione, se

, cioè se il codominio di

coincide con

, o, ancora, se ogni elemento di

è un'immagine di almeno un elemento di

. (figura)

La funzione

definita da

non è suriettiva perchè non tutti i numeri naturali sono il quadrato di qualche naturale. Inoltre, anche se consideriamo

con

la funzione non è suriettiva. Una funzione suriettiva è, ad esempio, la funzione

se si considera come dominio l'insieme dei numeri reali.

Definizione di funzione biunivoca

Se una funzione

è sia iniettiva che suriettiva, si dice che è una funzione biettiva o una biiezione o una funzione biunivoca.
Un esempio di funzione biunivoca (o biettiva) è la funzione

in quanto:

• è iniettiva poiché per ogni elemento del dominio esiste un solo elemento nel codominio
• è suriettiva perché ogni elemento del dominio è contro immagine di almeno un elemento del codominio

Riscriviamo la definizione appena fornita in termini insiemistici.
Si dice che una funzione

è una funzione biunivoca se ogni elemento di

ha una e una sola controimmagine in

. (figura)

Se

è una funzione biunivoca si ha

, ossia il codominio di

coincide con l'insieme

.
Quindi, se la funzione

è biunivoca, non solo a ogni

si può associare uno e un solo

, ma anche a ogni

si può associare uno e un solo

. Si dice allora che gli insiemi

e

sono in corrispondenza biunivoca: vi è quindi una corrispondenza biunivoca tra il dominio e il codominio di

.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qua