In quest'appunto di matematica si parla di funzioni e della loro classificazione in suriettive, iniettive e biunivoche, con opportuni esempi pratici.

Cos'è una funzione e come effettuare le classificazioni
In matematica, si definisce
funzione una relazione che lega un
dominio e un
codominio. In particolare, questa relazione collega
un elemento del dominio a un solo elemento del codominio.
Le funzioni possono essere classificate in tre gruppi, ossia:
- funzioni iniettive
- funzioni suriettive
- funzioni biunivoche
Approfondiremo queste tre categorie nei prossimi paragrafi, fornendo degli esempi numerici per ogni tipologia di funzione.
Definizione di funzione iniettiva
Sia
[math]f[/math]
una funzione definita da un
insieme A a un
insieme B. Si dice che
[math]f[/math]
è una
funzione iniettiva, o anche che è un'
iniezione, se, comunque si scelgano due elementi
[math]x_1,x_2 \in A [/math]
, allora
[math] x_1 \ne x_2 \to f(x_1) \ne f(x_2)[/math]
oppure in forma equivalente:
[math]F(x_1) = f(x_2) \to x_1 = x_2 [/math]
.
In altre parole diciamo che f è una funzione iniettiva se elementi distinti hanno sempre immagini diverse, oppure, equivalentemente, se due elementi che hanno la stessa immagine coincidono, o ancora, se ciascun elemento di B è l'immagine, al più, di un solo elemento di A. (figura)

Logaritmo, esponenziale, radice quadrata e retta sono funzioni iniettive, in quanto si basano su una funzione che lega elementi distinti del dominio a elementi distinti del codominio. Nel caso della retta, ad esempio, data una coordinata y apparterrà soltanto un punto di specifica coordinata x.
Esempi di funzioni non iniettive sono la parabola, il coseno, il seno e la tangente. In una parabola, ad esempio, possono esistere due punti aventi lo stesso valore di ordinata, per questo motivo a un unico valore del dominio possono corrispondere più valori del codominio.
Definizione di funzione suriettiva
Sia
[math]f[/math]
una funzione definita da un
insieme A a un
insieme B. Si dice che
[math]f[/math]
è una
funzione suriettiva, o anche che è una
suriezione, se
[math]F(A)=B[/math]
, cioè se il codominio di
[math]f[/math]
coincide con
[math]B[/math]
, o, ancora, se ogni elemento di
[math]B[/math]
è un'immagine di almeno un elemento di
[math]A[/math]
. (figura)

La funzione
[math]F: N \to N[/math]
definita da
[math]f(x) = x^2[/math]
non è suriettiva perchè non tutti i numeri naturali sono il quadrato di qualche naturale. Inoltre, anche se consideriamo
[math]f(x) =x^2[/math]
con
[math]f: Z \to Z[/math]
la funzione non è suriettiva. Una funzione
suriettiva è, ad esempio, la funzione
[math]f(x)=x+1[/math]
se si considera come dominio l'insieme dei
numeri reali.
Definizione di funzione biunivoca
Se una funzione
[math]f: A \to B[/math]
è sia iniettiva che
suriettiva, si dice che è una
funzione biettiva o una
biiezione o una
funzione biunivoca.
Un esempio di funzione biunivoca (o biettiva) è la funzione
[math]y=2x-1[/math]
in quanto:
- è iniettiva poiché per ogni elemento del dominio esiste un solo elemento nel codominio
- è suriettiva perché ogni elemento del dominio è contro immagine di almeno un elemento del codominio
Riscriviamo la definizione appena fornita in
termini insiemistici.
Si dice che una funzione
[math]f: A \to B[/math]
è una
funzione biunivoca se ogni elemento di
[math]B[/math]
ha una e una sola controimmagine in
[math]A[/math]
. (figura)

Se
[math]f[/math]
è una
funzione biunivoca si ha
[math]f(A)=B[/math]
, ossia il
codominio di
[math]f[/math]
coincide con l'insieme
[math]B[/math]
.
Quindi, se la funzione
[math]f[/math]
è biunivoca, non solo a ogni
[math]x \in A[/math]
si può associare uno e un solo
[math]y \in B[/math]
, ma anche a ogni
[math]y \in B[/math]
si può associare uno e un solo
[math]x \in A[/math]
. Si dice allora che gli insiemi
[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
sono in
corrispondenza biunivoca: vi è quindi una corrispondenza biunivoca tra il dominio e il codominio di
[math]f[/math]
.
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qua