Analisi Matematica – Esercizi, problemi e formule di Analisi Matematica

Appunti di Analisi matematica che al loro interno presentano esercizi, problemi e formule sulle principali definizioni che vengono trattate nell'ambito della disciplina. Si tratta di tutta una serie di esercizi, problemi e anche formule analizzano vari concetti di analisi matematica molto importanti come per esempio la derivata di una funzione inversa, la discontinuità di una funzione, lo studio di una funzione. Di seguito sono anche proposti importanti teoremi di Analisi matematica come per esempio il celebre Teorema di Lagrange, con analisi delle sue conseguenze, il calcolo integrale, il differenziale e il suo calcolo, il flusso di un campo vettoriale, l'integrale definito secondo Riemann, l'ipotesi del continuo, il concetto di limite, le matrici, i numeri naturali, la proporzionalità diretta, proporzionalità inversa e dipendenza lineare, la definizione per esempio di logaritmo. Tra gli argomenti presenti all'interno di questi contenuti di Analisi matematica vi sono anche la discontinuità di una funzione, il dominio, le derivate parziali. Mediante gli appunti approfonditi che sono presenti nell’ambito di questa categoria di appunti tutti gli utenti del sito avranno l’opportunità di conoscere ancora più a fondo tutte le nozioni di Analisi matematica ancora meglio, potendo dare il meglio nell’ambito delle loro interrogazioni scolastiche e facendo bella figura davanti ai loro professori e compagni di classe.

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Integrali: Int_1^ex(logx)dx=

int_1^ex(logx)dx= Integrando per parti l'integrale indefinito x^2/2logx-int(x^2/2)(1/x)dx= = x^2/2logx-int(x/2)dx quindi [(x^2/2)logx-x^2/4]_1^e= = e^2/2(loge)-e^2/4-1/2(log1)+1/4= = e^2/2-e^2/4+1/4= = (2e^2-e^2+1)/4=

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Integrali: Int((3x+2)/(4x+5))dx

Svolgimento: int((3x+2)/(4x+5))dx=1/4int((12x+8)/(4x+5))dx=1/4int((12x+15-7)/(4x+5))dx= =3/4int(1)dx-7/4int(1/(4x+5))dx= =3/4int(1)dx-7/(16)int(4/(4x+5))dx= 3/4x-7/(16)log(|4x+5|)+c .

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Integrali: Int(1/(1+e^x))dx

Svolgimento: int(1/(1+e^x))dx=int((1+e^x-e^x)/(1+e^x))dx=int(dx)-int(e^x/(1+e^x))dx= =x-log(1+e^x)+c .

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Integrali: Int(1/(3+5x)^6)dx

Svolgimento: int(1/(3+5x)^6)dx=1/5int((3+5x)^(-6)D(5x))dx= =1/5((3+5x)^(-5)/(-5))+c=-1/(25(3+5x)^5)+c .

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Integrali: Int(1/(a^2+x^2))dx

Svolgimento: int(1/(a^2+x^2))dx=int(1/(a^2[1+(x/a)^2]))dx=1/aint(1/(1+(x/a)^2)D(x/a))dx=1/aarctg(x/a)+c .

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Integrali: Int(1/(mx^2+n))dx

Svolgimento: int(1/(mx^2+n))dx=1/nint(1/(m/nx^2+1))dx= =1/nsqrt(n/m)int((sqrt(m/n))/((sqrt(m/n)x)^2+1))dx= =1/(sqrt(nm))arctg(sqrt(m/n)x)+c .

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Integrali: Int(1/(sin(x+a)))dx

Svolgimento: int(1/(sin(x+a)))dx=int(1/(2sin((x+a)/2)cos((x+a)/2)))dx= int(1/(tg((x+a)/2)*2cos^2((x+a)/2)))dx=int((D(tg((x+a)/2)))/(tg((x+a)/2)))dx= log(|tg((x+a)/2)|)+c .

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Integrali: Int(1/(sinxcosx))dx

Svolgimento: int(1/(sinxcosx))dx=int(1/(tgxcos^2x))dx= =int((D(tgx))/(tgx))dx=log(|tgx|)+c .

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Integrali: Int(1/sqrt(x^2+a^2))

Svolgimento: Poniamo sqrt(a^2+x^2)=x+t ;da qui elevando ambo i membri al quadrato si ricava (1) x=(a^2-t^2)/(2t) ed anche sqrt(a^2+x^2)=x+t=(a^2+t^2)/(2t) Differenziando la (1) si ha: dx=-(a^2+t^2)/(2t^2)dt Sostituendo il tutto nell'integrale, risu

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Integrali: Int(1/sqrt(x+a))dx

Svolgimento: int(1/sqrt(x+a))dx=int((x+a)^(-1/2))dx=2(x+a)^(1/2)=2sqrt(x+a)+c .

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Integrali: Int(3-7x)/(4+2x^2)dx=

int(3-7x)/(4+2x^2)dx= = int3dx/(4+2x^2)-7intx/(4+2x^2)dx= = 3/4intdx/(1+x^2/2)-7/4(log4+2x^2)= = (3/4arctan(x/sqrt(2)))/(1/sqrt(2))-7/4(log(4+2x^2))+K di Anoè Gianluca -

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Integrali: Int(arctg(sqrtx))dx

Svolgimento: Con la sostituzione x=t^2 ed il metodo di integrazioni per parti, si ha int(arctg(sqrtx))dx=int(2tarctg(t))dt=t^2arctg(t)-int(t^2/(1+t^2))dt= =t^2arctg(t)-t+arctg(t)+c=xarctg(sqrtx)-sqrtx+arctg(sqrtx)+c .

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Integrali: Int(cos(logx))dx

Svolgimento: Con la sostituzione x=e^t ed il metodo di integrazioni per parti, si ha int(cos(logx))dx=int(e^tcost)dt=1/2e^t(sint+cost)= =1/2x[sin(logx)+cos(logx)]+c .

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Integrali: Int(e^xsinx) Dx

{etRating 2} Si calcoli int(e^xsinx) dx Procedendo per parti ottieniamo int(e^xsinx) dx=e^xsinx-inte^xcosxdx (1) ma, sempre per parti, abbiamo anche inte^xcosx dx=e^xcosx+inte^xsinx dx Ora possiamo procedere sostituendo quindi nella (1):

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Integrali: Int(log^3(x)-5)/(3x*(log^2(x)-1))dx

{etRating 3} Calcolare int(log^3(x)-5)/(3x*(log^2(x)-1))dx Procediamo con la sostituzione di log(x)=t , e per la definizione di logaritmo ottengiamo: e^t=x , differenziando per trovare dx si ha e^t*dt=dx . Sostituendo e sempli

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Integrali: Int(sqrt((2-x)/x))dx

Svolgimento: Proviamo a sostituire y=sqrt((2-x)/x) , da cui x=2/(1+y^2) e dx=((-4y)/(1+y^2)^2)dy . Sostituendo ora questi dati nell'integrale originale otteniamo: int((-4*y^2)/(1+y^2)^2)dy=2y/(1+y^2)-2atan(y)+C .

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Integrali: Int(sqrt(4-x^2))/x^2dx

Calcolare l'integrale int(sqrt(4-x^2))/x^2dx Procediamo integrando per parti. int(sqrt(4-x^2))/x^2dx=-1/x*sqrt(4-x^2)-int1/(sqrt(4-x^2))dx Il nuovo integrale da calcolare diventa immediato dopo una semplice trasformazione. Raccogliendo un 4

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Integrali: Int(x^2sinx)dx

Svolgimento: Assumendo x^2 come fattore finito, si ha int(x^2sinx)dx=int(x^2D(-cosx))dx=-x^2cosx+2int(xcosx)dx= Integrando di nuovo per parti, scegliendo x come fattore finito si ha =-x^2cosx+2xsinx-2int(sinx)dx=(2-x^2)cosx+2xsinx+c .

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Integrali: Int(x^3/(sqrt(1-x^4)))dx

Svolgimento: int(x^3/(sqrt(1-x^4)))dx=-1/4int((-4x^3)/(1-x^4)^(-1/2)D(1-x^4))dx= =-1/2sqrt(1-x^4)+c .

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Integrali: Int(x^3e^(-x^2))

Svolgimento: Questo integrale si risolve per parti: Se vediamo xe^(-x^2)=(d/(dx))((-1/2)e^(-x^2)) int((x^3)exp(-x^2))dx=int (x^2(-1/2)d(e^(-x^2)))dx= =-(1/2)e^(-x^2)x^2+int(xe^(-x^2))dx Per quanto detto prima tutto cio' vale: (-1/2)(x^2+1)e

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