Binomio di Newton, nota sul calcolo esatto dei suoi coefficienti

In questo appunto di matematica si tratta della Formula del binomio di Newton. Lo sviluppo della potenza di un binomio può essere effettuata qualunque sia il suo valore. Tra i prodotti notevoli sono note la formula del quadrato di binomio è quella del cubo del binomio. Per valori superiori, utilizzando anche il coefficiente binomiale si può ottenere lo sviluppo completo di qualunque potenza del binomio.

Potenza del binomio, quadrato e cubo

La formula dello sviluppo del quadrato di un binomio fa parte dei prodotti notevoli dell’algebra.

.
Se i due termini del binomio sono entrambi di primo grado i tre termini dello sviluppo sono tutti di secondo grado.
All’aumentare della potenza del binomio aumentano i termini dello sviluppo, il cubo di un binomio è formato da un polinomio di quattro termini due cubi e due tripli prodotti che anche in questo caso se i monomi di partenza sono di primo grado sono tutti termini di terzo grado.
Riportiamo le due formule di sviluppo.
Quadrato di un binomio con termini di primo grado

Cubo di un binomio con termini di primo grado

Per ulteriori approfondimenti sui prodotti notevoli vedi qua

Potenza n-sima di un binomio

Il metodo si basa sulla costruzione del Triangolo di Tartaglia o di Pascal. Il sistema può andar bene per piccoli valori di

, ma diventa pesante per grandi valori, perché richiede la costruzione di tutte le righe precedenti, prima di costruire l’ennesima.
Ad esempio per determinare i coefficienti di sviluppo della quinta potenza bisogna comunque sviluppare tutte le righe fino alla quarta.
Il triangolo di Tartaglia fornisce i coefficienti che bisogna posizionare davanti ai termini del polinomio di sviluppo.

• Per il quadrato del binomio i coefficienti sono 1,2,1
• Per il cubo del binomio i coefficienti sono 1,3,3,1
• Per la quarta potenza del binomio i coefficienti sono: 1,4,6,4,1
• Per la quinta potenza del binomio i coefficienti sono;: 1,5,10,10,5,1

. Quando la potenza del binomio è un numero pari i coefficienti interni sono sempre uguali a coppie. Quando la potenza del binomio è un numero dispari vi è sempre un singolo coefficiente centrale e le coppie sono simmetriche rispetto ad esso.

Formula del binomio di Newton

Quando scriviamo la potenza di un binomio stiamo considerando il prodotto di

• [math](a+b)^2=(a+b)(a+b)[/math]
• [math](a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)[/math]
• [math](a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)[/math]
• [math](a+b)^5=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)[/math]
• [math](a+b)^n=(a+b)(a+b)(a+b)\ldots (a+b)[/math]
  n volte.

Oppure vedendole come prodotto di potenze note:

• [math](a+b)^2=(a+b)(a+b)[/math]
• [math](a+b)^3=(a+b)^2(a+b)[/math]
• [math](a+b)^4=(a+b)^2(a+b)^2[/math]
• [math](a+b)^5=(a+b)^2(a+b)^3[/math]

In queste scritture a e b sono numeri reali e l’esponente n è un numero naturale.
Il prodotto di

con opportuni coefficienti numerici. Per determinare questi numeri bisogna contare quante volte compare ciascuno di questi monomi. Bisogna scegliere k volte il fattore a tra gli n fattori è n-k volte il fattore b, in quelli che restano. I coefficienti del triangolo di Tartaglia si possono vedere come coefficienti binomiali.

Questo è il simbolo del coefficiente binomiale nel quale “n” e “ k” sono numeri naturali. Questo operatore è alla base del calcolo combinatorio. I simboli

e

sono il fattoriale del numero

e del numero

.

La formula del binomio di Newton è:

Questa formula consente di calcolare i coefficienti dello sviluppo di qualsiasi potenza del binomio senza dover necessariamente riempire tutte le righe del triangolo di Tartaglia per arrivare a quella desiderata.
La formula del binomio di Newton ci dice che lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n nelle variabili “a” e “b”, se scritto in modo ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, ha come coefficienti i numeri ottenuti dai coefficienti binomiali:

Procediamo allora con lo sviluppo di una potenza, ad esempio la quarta potenza del del binomio:

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo combinatorio vedi qua

Algoritmi per il calcolo dei coefficienti nello sviluppo della potenza del binomio

Per quanto visto ai paragrafi precedenti il calcolo dei coefficienti nello sviluppo della potenza di un binomio è agevolato mediante i coefficienti binomiali. Con l’ausilio di un software è possibile velocizzare ancora di più la procedura disponendo di idonei algoritmi di calcolo. Sono disponibili nel linguaggio Qbasic quattro programmi che sfruttano due tipi di algoritmo. Il Qbasic è un linguaggio di programmazione (vedi Java, Assembly, Pascal) molto semplice utilizzato per molte applicazioni in ambiente Windows.
Ogni coppia di programmi utilizza sia la formula relativa al coefficiente binomiale:

che quella ricorsiva:

Il primo di questi due programmi calcola tutti i coefficienti per potenze del binomio con

non superiore a 40.
Il secondo programma mediante un’aritmetica a precisione multipla calcola un solo coefficiente prefissato alla volta anche per valori elevati di

e

.
L’altra coppia di programmi consente il calcolo dei coefficienti quando la potenza del binomio è maggiore di 40.
Il terzo programma sfrutta il secondo tipo di algoritmo quello che si serve della formula ricorsiva e consente il calcolo di tutti i coefficienti per potenze del binomio con n non superiore a 50.
Il quarto programma utilizzando sempre un’aritmetica a precisione multipla effettua il calcolo di tutti o di una parte scelta dei coefficienti ma per un qualsiasi esponente con n non superiore a 400.
Per ulteriori approfondimenti sui linguaggi di programmazione Java e Assembly vedi qua