Sviluppo della potenza di un binomio con l'utilizzo del Triangolo di Tartaglia: Definizione ed Esempi

Questo appunto sarà dedicato allo sviluppo di potenze di binomi attraverso l'utilizzo dei coefficienti del triangolo di Tartaglia, attraverso un esempio numerico.

Introduzione

In questo appunto di algebra verrà riportato il metodo da seguire per risolvere e sviluppare le potenze di un binomio.
Negli appunti precedenti abbiamo visto come fare lo sviluppo del quadrato di un binomio , oppure del cubo di un binomio , ottenendo che:

In questa lezione invece, vedremo come sviluppare in modo semplice i binomi fino all'ennesima potenza, senza dover effettuare tutti i calcoli e le moltiplicazioni coinvolte.

Per fare ciò, il metodo utilizzato è quello del Triangolo di Tartaglia, il quale è strutturato da una piramide di numeri che rappresentano i coefficienti dello sviluppo del binomio

.
Ecco le prime righe del Triangolo di Tartaglia:

Come costruire il Triangolo di Tartaglia

Per costruire il Triangolo di Tartaglia partiamo dall’analisi della funzione in questione, ovvero una funzione di potenza di tipo binomiale. Se il binomio da sviluppare è

(con n≥1), allora il Triangolo di Tartaglia sarà costituito da

. righe. Per creare il triangolo e quindi, riempire le righe, proseguiamo in questo modo:

• Poniamo 1 al vertice della piramide e lungo i due lati del triangolo fino alla riga
  [math] n+1[/math]
  .
• Facendo in questo modo, possiamo vedere che le prime due righe sono già complete quindi, passiamo direttamente alla terza riga della piramide
• Per riempire le righe della piramide basta ricordare che ogni elemento è dato dalla somma degli elementi adiacenti posti nella riga precedente. Per adiacenti si intendono i due numeri che si trovano rispettivamente subito in alto a sinistra e subito in alto a destra, rispetto all’elemento che si vuole calcolare
• Continua il procedimento fino ad arrivare alla riga
  [math] n+1[/math]
  .

Ecco costruito il nostro Triangolo di Tartaglia per un generico binomio del tipo

. A questo punto è normale chiedersi: “Ma cosa indicano gli elementi di ogni riga del Triangolo?” Gli elementi di ogni riga rappresentano i coefficienti dello sviluppo del binomio

, quindi:

• se n=0, allora avremo che
  [math](a+b)^0=1[/math]
  ; infatti nella prima riga troviamo un solo elemento pari ad 1.
• se n=1 allora avremo
  [math](a+b)^1=(a+b)[/math]
  ; nella seconda riga abbiamo proprio 1 e 1, che sono rispettivamente i coefficienti di
  [math]a[/math]
  e
  [math]b[/math]
  nello sviluppo del polinomio di primo grado
• se n=2 allora avremo
  [math](a+b)^2=a^2+2 a b+b^2[/math]
  ; nella terza riga abbiamo proprio 1 2 1, che sono rispettivamente i coefficienti di
  [math]a^2[/math]
  ,
  [math]a b[/math]
  e
  [math]b^2[/math]
  nello sviluppo del polinomio di secondo grado
• se n=3 allora avremo
  [math](a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3a b^2 +b^3[/math]
  ; nella quarta riga abbiamo proprio 1 3 3 1, che sono rispettivamente i coefficienti di
  [math]a^3[/math]
  ,
  [math]a^2 b[/math]
  ,
  [math]ab^2[/math]
  e
  [math]b^3[/math]
  nello sviluppo del polinomio di terzo grado

e così via.

Applicazione del Triangolo di Tartaglia

Capito il ragionamento del paragrafo precedente, a questo punto possiamo fare un esempio per vedere come sviluppare un binomio del tipo

. Intanto notiamo che essendo

abbiamo un polinomio del sesto grado, quindi il nostro Triangolo di Tartaglia sarà composto da n+1 righe, cioè 7 righe.
Costruiamolo per come abbiamo visto precedentemente e fermiamoci alla settima riga.

• I riga: Scriviamo 1 nella prima riga e ai lati del triangolo
• II riga: 1; 1
• III riga: 1;
  [math](1+1)=2[/math]
  ; 1
• IV riga: 1;
  [math](1+2)=3 [/math]
  ; (2+1)=3 ; 1
• V riga: 1;
  [math](1+3)=4 ; (3+3)=6 ; (3+1)=4; [/math]
  1
• VI riga: 1;
  [math](1+4)=5; (4+6)=10; (6+4)=10 ; (4+1)=5 [/math]
  1
• VII riga: 1;
  [math](1+5)=6 ; (5+10)=15 ; (10+10)=20; (10+5)=15 [/math]
  ; (5+1)=6; 1

Bene, gli elementi della VII riga sono proprio i coefficienti dello sviluppo del binomio del sesto ordine, quindi possiamo scrivere:

.
Nota bene: per scivere in maniera corretta lo sviluppo del binomio, si parte dal primo elemento, in (questo caso a), e si pone il grado massimo (in questo caso n=6). Dopo di ciò b aumenta col diminuire di a, finché l'esponente di b non raggiunge n e a non raggiunge 0. Infatti, avremmo anche potuto scrivere:

Per i più curiosi, al posto di 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 1 avremmo potuto scrivere:

... fino a