In questo appunto studieremo la definizione di monomio e vedremo alcune regole relative ad essi. Molto spesso è utile utilizzare i monomi per semplificare alcune espressioni algebriche che rientrano nel campo del calcolo letterale, ossia quando si opera non solo con i numeri, ma anche con le lettere.
Indice
Monomi: che cosa sono?
Un monomio è un'espressione letterale in cui compaiono solo operazioni di moltiplicazione, che si compone di due parti: una parte letterale, e una parte numerica.Vediamo qualche esempio:
Esempio 1:
[math]3ab[/math]
Il monomio è composto sia dalla parte numerica che dalla parte letterale. Infatti, la parte numerica è
[math] 3 [/math]
mentre la parte letterale è [math] ab [/math]
.Esempio 2:
[math]-2ab^2[/math]
In questo caso, la parte numerica è
[math] -2 [/math]
, infatti se la parte numerica è un numero negativo, non importa. La parte letterale del monomio citato sopra è invece [math] ab^2[/math]
.
Calcolo del valore numerico di un monomio
Come per le espressioni letterali, anche per i monomi vale la definizione di valore numerico: il valore numerico di un monomio è il valore che si ottiene eseguendo la sequenza di operazioni indicate dal monomio dopo aver sostituito dei valori numerici alle lettere che lo compongono.Se volessimo, per esempio, calcolare il valore numerico del monomio
[math] 2ab^2 [/math]
quando la lettera [math] a [/math]
vale [math]2[/math]
e la lettera [math] b [/math]
vale [math]3[/math]
, dobbiamo semplicemente sostituire questi valori all'interno del monomio e svolgere i conti.
[math] 2ab^2 = 2 \times 2 \times 3^2 = 2 \times 2 \times 9 = 36[/math]
Monomi interi e frazionari
I monomi possono essere interi, o frazionari, in base al fatto se compaiano o no lettere al denominatore.Ad esempio,
[math]\frac{2}{3} a^3c^2[/math]
è un monomio intero, è vero che compare una frazione ma all'interno del denominatore di tale frazione non compare nessuna lettera. Anche [math] 21b^2c [/math]
è un monomio intero, così come [math] 3a^2b^3c [/math]
.Invece i monomi
[math] \frac{b^2a^3}{c} [/math]
sono monomi frazionari, così come i monomi [math] \frac{2a^2b}{c^3} [/math]
e [math] \frac{c^2}{2ab} [/math]
.
Confronto tra monomi
Confrontando due monomi, possiamo distinguerli in tre categorie: monomi simili, monomi uguali e monomi opposti.- Diremo che due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale elevata agli stessi esponenti. Ad esempio [math]3ab^2[/math]e[math]-2ab^2[/math]sono simili, ma[math]5ab[/math]e[math]8a^2b[/math]non lo sono.
- Diremo che due monomi sono uguali se hanno la stessa parte letterale elevata agli stessi esponenti, ma hanno anche la stessa parte numerica. Ad esempio [math] 2ac^2 [/math]e[math] 2ac^2 [/math]sono monomi uguali, ma[math] 5ab [/math]e[math] 5ac [/math]non sono uguali. Una conseguenza interessante di questa definizione è che se due monomi sono uguali, allora sono simili, ma se due monomi sono simili allora non è detto che siano uguali.
- Diremo che due monomi sono opposti se hanno la stessa parte letterale elevata agli stessi esponenti, ma la parte numerica opposta. Ad esempio [math] 3ac^2 [/math]e[math] -3ac^2 [/math]sono opposti, ma[math]2ab[/math]e[math]-2ac[/math]non lo sono.
Grado di un monomio
Si definisce grado di un monomio il grado complessivo del monomio, cioè la somma degli esponenti delle lettere che formano la parte letterale:-
[math]a^3b^2cd^4[/math]ha grado[math]3 + 2 + 1 + 4 = 10[/math]
-
[math]\frac{5}{3}ab^3c^4d^4[/math]ha grado[math]1 + 3 + 4 + 4 = 12[/math]
[math]a[/math]
vale [math]3[/math]
nel primo monomio e [math]1[/math]
nel secondo monomio. Se la lettera non è presente, diremo che il grado è nullo, o uguale a 0.
Secondo questa definizione, quindi, possiamo considerare monomi anche le parti numeriche da sole, ad esempio [math]5[/math]
o [math]-3[/math]
; in questo caso, si parla di monomio di grado zero, in quanto tutte le lettere che vi compaiono hanno grado zero (sono cioè uguali a 1).Una piccola eccezione va fatta nel caso in cui compaia solo 0 come parte numerica; in questo caso non siamo in grado di determinare il grado delle lettere che compaiono, perciò il suo grado rimane indefinito, ed esso prende il nome di monomio nullo.
Monomio in forma normale
Un monomio si dice in forma normale se la parte letterale è composta da lettere che compaiono una sola volta.Ad esempio
[math]8a^2b^3c[/math]
e [math]2b^2a^4c[/math]
sono in forma normale, mentre [math]3a^2b^3cab[/math]
e [math] 3ab^2a^3\frac{2}{5}c[/math]
non lo sono.Un monomio può essere facilmente ridotto in forma normale, seguendo queste regole:
- si ordina il monomio, cosicché risulti più semplice individuare i fattori numerici, e le lettere uguali;
- si moltiplicano fra loro i fattori numerici;
- si moltiplicano le potenze con la stessa base;
[math]3a^4b^2\frac{3}{5}ca^3(-b)^2 )[/math]
[math]3 \times \frac{3}{5}a^4a^3b^2(-b)^3c = 3 \times \frac{3}{5}(-1)a^4a^3b^2b^2c[/math]
Moltiplichiamo fra loro i numeri e le lettere simili:[math]-\frac{9}{5}a^{4+3}b^{2+2}c = -\frac{9}{5}a^7b^4c[/math]
Operazioni tra monomi
È importante premettere che è sempre possibile operare tra monomi, salvo eccezioni. È possibile infatti sommare due monomi (o fare la loro differenza) solo se i due monomi sono simili, basta sommare la loro parte numerica (o sottrarla).Ad esempio
[math] 8x^2y + 3x^2y = 11x^2y [/math]
ma non potremo dire che [math] 3ab + 5ac = 8abc [/math]
.Per quanto riguarda il prodotto o il rapporto, invece, basta moltiplicare (o dividere) tra loro le parti numeriche e le parti letterali, ricordando che moltiplicando due parti letterali, gli esponenti si sommano.
Ad esempio
[math] 8ab \cdot 2a^2c = 16a^3bc [/math]
e [math] 4ab \cdot 5xy = 20 abxy [/math]
.Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni tra monomi vedi anche qua
Polinomi
I polinomi, come il nome stesso suggerisce, sono espressioni algebriche data dalla somma algebrica di due o più monomi non simili tra loro.Per ulteriori approfondimenti sui polinomi vedi anche qua
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