In quest'appunto di matematica troverai la definizione di fattoriale e indicazioni su come scriverlo correttamente. Inoltre, è presente un esercizio svolto e commentato.
Indice
Cos'è il fattoriale e a cosa serve
Oggi parleremo dell' operatore
(o n fattoriale). Questo curioso titolo nasconde una famosa notazione aritmetica. Definito
un numero intero positivo,
indica il prodotto tra:
...
ed è chiamato
.
Per ragioni di calcolo che non sono importanti in questa sede, si può affermare per convenzione che:
Perchè l'operatore fattoriale è così importante in matematica
Il fattoriale è importante soprattutto nel calcolo combinatorio. Il calcolo combinatorio non è altro che quel ramo della matematica che quantifica in quanti modi, dato un insieme finito di oggetti, questi possono essere raggruppati secondo determinate condizioni. In particolare, i raggruppamenti sono creati tenendo conto della dipendenza o dell'indipendenza di essi dall'ordinamento e dalle ripetizioni di un oggetto. Facciamo un esempio.
Se si vuole calcolare il numero di password realizzabili utilizzando esclusivamente le cifre - quindi da 1 a 9 -, le "combinazioni" da ricercare dipendono dall'ordine delle cifre. La strategia da utilizzare, quindi, sarà diversa rispetto al calcolo del numero di "combinazioni" possibili in un'estrazione del lotto. In quel caso, infatti, l'ordine con cui i numeri vengono estratti non influisce sulla vincita, qualora i numeri "corretti" siano estratti.
Se, ad esempio, si vogliono contare tutte le configurazioni possibili di password a n-cifre (tutte diverse tra di loro e quindi senza ripetizioni), bisogna applicare la formula
. Nel caso
, la formula diventa
.
Nel caso dell'estrazione del lotto, come abbiamo già anticipato, l'ordine con cui i numeri vengono estratti non influisce sulla vincita. Per cui se i numeri vincenti sono
sia
che
sono delle combinazioni vincenti.
In questo caso, il calcolo del numero di combinazioni vincenti è pari a
, dove
è il numero di cifre e
è la lunghezza dei raggruppamenti da creare in cui non devono esserci ripetizioni. Nel caso dell'estrazione del lotto le cifre sono 9 e le combinazioni presentano 6 numeri: quindi, in questo caso,
e
. Dal punto di vista numerico accade che
. Naturalmente, in questo caso, il numero di configurazioni possibili è minore poiché le configurazioni che presentano le stesse cifre ma in ordine diverso non sono conteggiate.
Il concetto di fattoriale fu introdotto da un matematico poco noto, che lo concepì nel lontano 1808. Il numero
cresce molto velocemente e in maniera sorprendente - sebbene la sua crescita sia più lenta di quella esponenziale. Ciò è dimostrato dalla seguente tabella:
Di fatto, la cosiddetta formula di approssimazione di Stirling fornisce una buona idea delle dimensioni di
, oltre che un ottimo esempio di bellezza di per sé:
La definizione di
può essere estesa a qualunque valore di
, non necessariamente intero positivo, ma per questo sono necessari gli strumenti dell'analisi superiore e la definizione della funzione
. D'altra parte, uno degli usi più conosciuti di
è nella serie:
che permette di definire in maniera elegante il numero
.
Esempi pratici sul calcolo del fattoriale
A una festa,
invitati lasciano i loro cappelli all'ingresso; qual è la probabilità che all'uscita nessuno si veda restituire il proprio cappello? A dare la risposta fu Bernoulli, che formulò:
I fattoriali possono essere utilizzati anche nell'ambito delle espressioni numeriche. Ricordiamo che le principali regole da seguire nella loro risoluzione sono:
- In presenza di parentesi, l'ordine da seguire per svolgere le operazioni è il seguente: parentesi tonde [math]()[/math], parentesi quadre[math][][/math], parentesi graffe[math]{}[/math]e quantità non in parentesi
- In assenza di parentesi (o all'interno di una parentesi) l'ordine delle operazioni da eseguire è il seguente: elevazioni a potenza, moltiplicazioni e divisioni, sottrazioni e addizioni
Ecco un esempio di espressione con il fattoriale:
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