n!

Oggi parleremo dell'n! (o n fattoriale). Questo curioso titolo nasconde una famosa notazione aritmetica. Se

[math]n[/math]
è un numero intero positivo,
[math]n![/math]
indica il prodotto tra:


[math]n!=n(n-1)(n-2)...*3*2*1[/math]


ed è chiamato

[math]n[/math]
fattoriale o fattoriale di
[math]n[/math]
. Per ragioni di calcolo che non sono importanti in questa sede, si assume per convenzione:


[math]0!=1[/math]


Questo concetto fu introdotto da un Matematico poco noto, che lo concepì nel lontano 1808. In numero

[math]n![/math]
cresce molto velocemente, in maniera sorprendente, come dimostra la seguente tabella:



Di fatto, la cosiddetta formula di approssimazione di Stirling fornisce una buona idea delle dimensioni di

[math]n![/math]
, oltre che un ottimo esempio di bellezza di per sé:


[math]n!=\sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^{n}[/math]


La definizione di

[math]n![/math]
può essere estesa a qualunque valore di
[math]n[/math]
, non necessariamente intero positivo, ma per questo sono necessari gli strumenti dell'analisi superiore e la definizione della funzione
[math]Γ[/math]
. D'altra parte, uno degli usi più conosciuti di
[math]n![/math]
è nella serie:


[math]e= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...[/math]


che permette di definire in maniera elegante il numero

[math]e[/math]
.

Vediamone un problema:

A una festa,

[math]n[/math]
invitati lasciano i loro cappelli all'ingresso; qual è la probabilità che all'uscita nessuno si veda restituire il proprio cappello? A dare la risposta fu Bernoulli, che formulò:


[math]p_{n}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+(-1)^{n} \frac{1}{n!}[/math]

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