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Coefficienti binomiali


Che cosa sono i coefficienti binomiali?

I coefficienti binomiali sono dei numeri (n, k) che si scrivono nella seguente forma:
[math]n \choose k[/math]
. Ma a quanto equivalgono?
Si dice che:
[math] n \choose k [/math]
[math]= \frac{n!}{k! (n-k!) }[/math]
Dove n!, k! e (n-k)! sono dei numeri fattoriali.
Ricorda: Un numero fattoriale n! è un numero composto dal prodotto tra n e tutti i suoi numeri precedenti fino ad 1.
Es: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Es: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

I coefficienti binomiali rappresentano il numero di sottoinsiemi di k elementi ricavabile da un insieme di n elementi.
Facciamo un esempio, per chiarire meglio ciò che sto scrivendo.
In quanti modi posso scegliere 2 palline di colori diversi da un'urna che ne contiene 6 tutte di colori diversi?
Svolgimento:
[math] 6 \choose 2 [/math]
[math]= \frac{6!}{2! (4!) } = \frac{6 * 5}{2} = 15 [/math]
modi possibili

Esercizi risolti

Un'urna contiene 10 palline: 3 bianche e 7 nere. Pescandone due a caso, qual è la probabilità che siano entrambe bianche? E quella che siano entrambe nere? E quella che siano una bianca e una nera?
[math]P(1) = \frac{3 \choose 2}{10 \choose 2} = \frac{3}{45}[/math]
[math]P(2) = \frac{7 \choose 2}{10 \choose 2} = \frac{21}{45}[/math]
[math]P(3) = \frac{3 * 7}{10 \choose 2} = \frac{21}{45}[/math]
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