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Quadrato di binomio - Sviluppo e scomposizione


Il quadrato di binomio è un prodotto notevole, che permette di sviluppare il quadrato di un polinomio a due termini, ovvero una cosa del genere:
[math](a+b)^2[/math]
Per sviluppare il quadrato di un binomio, è necessario eseguire tre passaggi:
-il quadrato del primo monomio;
-il quadrato del seguente monomio;
-il doppio prodotto tra i due monomi.
Nel caso del binomio considerato in precedenza:
[math](a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab[/math]
Ricorda: i quadrati sono sempre positivi, e non esiste quadrato negativo (che appartenga all'insieme dei numeri reali!)
Vediamo ora come effettuare la scomposizione.
Supponiamo di avere il polinomio:
[math]9x^4+12x^2y+4y^2[/math]
Esso può essere scomposto come un quadrato di binomio, ma come facciamo ad accorgersi che può essere scomponibile come tale?
  1. Guarda sempre i monomi che ad esso appartengono, se trovi due quadrati, allora esso è probabilmente un quadrato di binomio;
  2. Fai attenzione ai quadrati, controlla che essi siano positivi!
  3. Nella scomposizione di un quadrato di binomio, per determinare il segno di tale binomio, si guarda sempre il segno del doppio prodotto.

Esercizi svolti

Sviluppare i seguenti quadrati di binomio:
[math](5x+3y)^2 = 25x^2+9y^2+30xy[/math]

[math](4a-3b)^2 = 16a^2+9b^2-24ab[/math]

[math](\frac{1}{4}k+\frac{1}{2}h)^2 = \frac{1}{16}k^2+\frac{1}{4}h^2+\frac{1}{4}hk[/math]

Scomponi i seguenti polinomi.
[math]64a^2-25b^2-80ab[/math]
= Impossibile! Il quadrato è negativo.
[math]16x^2-40xy+25y^2 = (4x-5y)^2[/math]

[math]\frac{1}{9}a^2-\frac{4}{3}ab+4b^2 = (\frac{1}{3}a-2b)^2[/math]
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