Quadrato di binomio: sviluppo e scomposizione

In questo appunto approfondiremo uno dei prodotti notevoli: ossia il quadrato di binomio. Oltre a saper sviluppare un quadrato di binomio, è importante anche saperlo riconoscere, in quanto è abbastanza comune trovare un quadrato di binomio sviluppato, che risulta utile scomporre. Tuttavia, per imparare a riconoscere un quadrato di binomio, bisogna prima di tutto imparare a svilupparlo, ed è un metodo semplice ma che richiede dei passaggi rigorosi da seguire.

Quadrato di binomio: sviluppo

Il quadrato di binomio è un prodotto notevole, che permette di sviluppare il quadrato di un polinomio a due termini (un binomio è un polinomio a due termini, ossia un polinomio composto dalla somma algebrica di due monomi.

Un generico quadrato di binomio si presenta nella seguente forma:

Per sviluppare il quadrato di un binomio, è necessario eseguire tre passaggi:

• calcolare il quadrato del primo monomio;
• calcolare il quadrato del secondo monomio;
• calcolare il doppio prodotto tra i due monomi, ossia calcolare il prodotto tra i monomi precedentemente citati e poi moltiplicare per 2.

È necessario infine sommare i valori calcolati.
Nel caso del binomio considerato in precedenza:

Vediamo un esempio leggermente più complesso, sviluppiamo il quadrato:

.

Allora, bisogna calcolare:

(ossia il quadrato del primo monomio),

(ossia il quadrato del secondo monomio), e infine

(cioè il prodotto tra i due monomi, moltiplicato per 2).
Ricorda: i quadrati sono sempre positivi, e non esiste quadrato negativo (che appartenga all'insieme dei numeri reali!)

Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione dei polinomi vedi anche qua

Quadrato di un binomio: scomposizione

Vediamo ora come effettuare la scomposizione di un polinomio riconducibile al quadrato di un binomio.
Supponiamo di avere il polinomio:

Esso può essere scomposto come un quadrato di binomio, ma come si fa ad accorgersi che può essere scomponibile come tale? Ecco una serie di consigli utili:

• Guardare sempre i monomi che ad esso appartengono, se si trovano due quadrati, allora esso è probabilmente un quadrato di binomio;
• Fare attenzione ai quadrati, controllare che essi siano positivi, cioè accompagnati da un segno
  [math]+[/math]
  !
• Nella scomposizione di un polinomio riconducibile ad un quadrato di binomio, per determinare il segno di tale binomio, è molto utile guardare il segno del doppio prodotto.

La scomposizione di tale polinomio è

.

Esercizio

1) Sviluppare i seguenti quadrati di binomio:

2) Scomponi i seguenti polinomi.

Soluzione dell’esercizio 1

• Il quadrato del primo monomio è
  [math](5x)^2=25x^2[/math]
  , il quadrato del secondo è
  [math](3y)^2=9y^2[/math]
  , mentre il doppio prodotto tra i monomi vale
  [math]2 \cdot 5x \cdot 3y = 30xy[/math]
  . Lo sviluppo è
  [math]25x^2 + 9y^2 + 30xy[/math]
  ;
• Il quadrato del primo monomio è
  [math](4a)^2=16a^2[/math]
  , il quadrato del secondo è
  [math](-3b)^2=9b^2[/math]
  , mentre il doppio prodotto è
  [math] 2 \cdot 4a \cdot (-3b) = -24ab[/math]
  . Il quadrato è quindi
  [math]16a^2 + 9b^2 - 24ab[/math]
  ;
• Il quadrato del primo monomio è
  [math](\frac{1}{4}k)^2=\frac{1}{16}k^2[/math]
  , il quadrato del secondo è
  [math](\frac{1}{2}h)^2=\frac{1}{4}h^2[/math]
  , infine il doppio prodotto è
  [math]2 \cdot \frac{1}{4}k \cdot \frac {1}{2}h = \frac{1}{4}hk [/math]
  , il quadrato è quindi
  [math]\frac{1}{16}k^2+\frac{1}{4}h^2+\frac{1}{4}hk[/math]

Soluzione dell’esercizio 2

• [math]64a^2-25b^2-80ab[/math]
  non può essere scomposto in quanto il
  [math]25b^2[/math]
  è preceduto da un segno meno, che i quadrati non possono avere;
• [math]16x^2-40xy+25y^2 = (4x-5y)^2[/math]
  , per stabilire il segno “mediano” basta guardare il segno del doppio prodotto;
• [math]\frac{1}{9}a^2-\frac{4}{3}ab+4b^2 = (\frac{1}{3}a-2b)^2[/math]
  , ancora una volta il segno del doppio prodotto era negativo ed è lo stesso segno che “separa” i due binomi.

Il quadrato di binomio si svolge in maniera molto simile al quadrato di un trinomio, che richiede solo dei passaggi ulteriori, ma analoghi a quelli spiegati sopra.

Per ulteriori approfondimenti sul quadrato di un trinomio vedi anche qua