Indice
Definizione
Data una successione
[math]{a_n}_{n \in \mathbb{N}}[/math]
si chiama serie dei termini [math]a_n[/math]
la scrittura formale
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n[/math]
Definiamo una seconda successione (delle somme parziali)
[math]{s_n}_{n \in \mathbb{N}}[/math]
nel modo seguente:
[math]s_0 = a_0 qquad s_1 = a_0 + a_1 qquad \ldots qquad s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n qquad \ldots[/math]
Per comodità si scrive
[math]s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n = \sum_{k=0}^n a_k[/math]
. La serie definita precedentemente converge, diverge, è irregolare se e solo se la successione [math]s_n[/math]
converge, diverge, è irregolare, rispettivamente. In particolare, se [math]s_n[/math]
converge risulta
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n a_k = \lim_{n \to +\infty} s_n = \text{somma della serie}[/math]
Condizione necessaria per la convergenza
Condizione necessaria affinché la serie
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n[/math]
converga è che [math]\lim_{n \to +\infty} a_n = 0[/math]
.
Esempio: la serie
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+1}[/math]
non converge, perché [math]\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1 \ne 0[/math]
.
Serie a termini non negativi
Per le serie a termini non negativi valgono i seguenti criteri di convergenza.
Criterio del confronto
Date due serie a termini non negativi
[math]\sum_{n = 0}^{+\infty} a_n[/math]
e [math]\sum_{n = 0}^{+\infty} b_n[/math]
, se [math]a_n \le b_n[/math]
definitivamente, allora
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} b_n \text{ è convergente } \implies \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \text{ è convergente}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \text{ è divergente } \implies \sum_{n=0}^{+\infty} b_n \text{ è divergente}[/math]
Esempio: risulta
[math]\frac{ln(n)}{n^3} \le \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} \quad \forall n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
. Dato che us {0}[/math]
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}[/math]
converge (è una serie armonica con esponente maggiore di uno), allora [math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{ln(n)}{n^3}[/math]
converge per il criterio del confronto.
Criterio del confronto asintotico
Date due serie a termini non negativi
[math]\sum_{n = 0}^{+\infty} a_n[/math]
e [math]\sum_{n = 0}^{+\infty} b_n[/math]
, se [math]\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = k in \mathbb{R} setmi
us {0}[/math]
allora us {0}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \text{ è convergente } iff \sum_{n=0}^{+\infty} b_n \text{ è convergente}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \text{ è divergente } iff \sum_{n=0}^{+\infty} b_n \text{ è divergente}[/math]
Esempio: dato che
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^4 + 1}} = 1[/math]
, e dato che [math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}[/math]
converge, allora [math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{n^4 + 1}[/math]
converge per il criterio del confronto asintotico.
Criterio della radice
Data una serie a termini non negativi
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n[/math]
, se [math]\lim_{n \to +\infty} >br>
oot{n}{a_n} = l in \mathbb{R}[/math]
, allora
- se
[math]l > 1[/math]
la serie diverge
- se
[math]l la serie converge
- se
[math]l=1[/math]
nulla si può dire sul carattere della serie
Esempio: la serie
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{1}{2})^n[/math]
converge per il criterio della radice, dal momento che [math]\lim_{n \to +\infty}
oot{n}{(\frac{1}{2})^n} = \frac{1}{2}
oot{n}{(\frac{1}{2})^n} = \frac{1}{2}
Criterio del rapporto
Data una serie a termini non negativi
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n[/math]
, se [math]\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n +1}}{a_n}= l in \mathbb{R}[/math]
, allora
- se
[math]l > 1[/math]
la serie diverge
- se
[math]l la serie converge
- se
[math]l=1[/math]
nulla si può dire sul carattere della serie
Esempio: per studiare la convergenza di
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!}[/math]
si può usare il criterio del rapporto. Vale [math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{(n+1)!} \frac{2^{n+1}}{2^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} \cdot 2 = 0 , quindi la serie converge per il criterio del rapporto.
Serie armonica
La serie armonica
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}[/math]
converge se e solo se [math]\alpha > 1[/math]
, diverge se e solo se [math]\alpha \le 1[/math]
.
Serie a termini di segno variabile
Per le serie a termini di segno variabile si possono sfruttare i seguenti criteri.
Assoluta convergenza
Data una serie a termini di segno variabile
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_n[/math]
, se [math]\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|[/math]
converge, allora converge anche la serie iniziale. Notare che [math]\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|[/math]
è una serie a termini non negativi, pertanto si possono applicare i criteri precedenti.
Esempio: studiare la convergenza di
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\\sin(n)}{n^2}[/math]
. Vale [math]|\frac{\\sin(n)}{n^2}| = \frac{|\\sin(n)|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}[/math]
per ogni [math]n \in \mathbb{N}[/math]
. Quindi [math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\\sin(n)|}{n^2}[/math]
converge per il criterio del confronto, mentre la serie iniziale converge per il criterio della convergenza assoluta.
Criterio di Leibniz (valido solo per le serie a termini di segno alternato)
Una serie a termini di segno alterno è una serie del tipo
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \cdot a_n[/math]
, dove [math]a_n \ge 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}[/math]
. Se
1) la successione
[math]a_n[/math]
è decrescente
2) risulta
[math]\lim_{n \to +\infty} a_n = 0[/math]
allora la serie converge.
Esempio: studiare la convergenza della seguente serie a termini di segno alterno,
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}[/math]
. La successione [math]a_n = \frac{1}{n}[/math]
è decrescente, perché [math]\frac{1}{n+1} per ogni
[math]n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
, e inoltre us {0}[/math]
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0[/math]
, quindi la serie converge per il criterio di Leibniz.
Serie e sommatorie notevoli
[math]\sum_{k=0}^n k = \frac{n (n+1)}{2}[/math]
, per ogni [math]n \in \mathbb{N}[/math]
[math]\sum_{k=0}^n (2k + 1) = (n+1)^2[/math]
, per ogni [math]n \in \mathbb{N}[/math]
[math]\sum_\begin{cases} & \quad \text{se } q = 1 \\ \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} & \quad \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math]
, con [math]q \in \mathbb{R}[/math]
, [math]n \in \mathbb{N}[/math]
[math]\sum_\begin{cases} & \quad \text{se } |q| (serie geometrica)
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n (n+1)} = 1[/math]
(serie di Mengoli)
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} - a_{n+1}[/math]
(serie telescopica, che converge a [math]a_0[/math]
se [math]\lim_{n \to +\infty} a_n = 0[/math]
)
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\\pi^2}{6}[/math]
(serie armonica con [math]\alpha = 2[/math]
)
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} = \frac{\\pi}{4}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = e[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^{x}[/math]
, per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} ln^2(a) = a^x[/math]
, per ogni [math]a \in \mathbb{R}^+ setmi
us{1}[/math]
e per ogni us{1}[/math]
[math]x \in \mathbb{R}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} = \\log(1 + x)[/math]
, per ogni [math]x \in (-1, 1][/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \\sin(x)[/math]
, per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \\cos(x)[/math]
, per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2 \cdot (2n+1)} x^{2n+1} = \text{arc\\sin}(x)[/math]
, per ogni [math]x \in (-1,1)[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} = \text{arctg}(x)[/math]
, per ogni [math]x \in (-1, 1)[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \\sinh(x)[/math]
, per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \\cosh(x)[/math]
, per ogni [math]x \in \mathbb{R}[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2 \cdot (2n+1)} x^{2n+1} = \text{sett\\sinh}(x)[/math]
, per ogni [math]x \in (-1, 1)[/math]
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} = \text{setttgh}(x)[/math]
, per ogni [math]x \in (-1, 1)[/math]
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