Cubo del binomio: regola di sviluppo ed esercizi svolti

Appunto di algebra sul calcolo letterale, per la scuola secondaria, in cui si spiega lo sviluppo del cubo di binomio. Una breve parentesi è dedicata alle prime definizioni e alle proprietà dei monomi, le operazioni di somma algebrica e prodotto tra monomi simili e non, il grado di un monomio totale e rispetto alle singole lettere che lo compongono. Il cubo di binomio come prodotto notevole e la sua regola di sviluppo presentata sotto forma di uno schema ricorrente che va memorizzato e applicato di volta in volta per risolvere gli esercizi.

Monomi e binomi

Prima di spiegare il calcolo e la regole di sviluppo del cubo di un binomio, facciamo un ripasso sulle definizioni di base e sulle proprietà dei monomi.

Se già sai di cosa stiamo parlando salta pure al passaggio successivo. La parola monomio deriva dall’unione del prefisso greco mónos, che significa unico, e della parola latina nomen, che significa nome, termine. La parola monomio indica una espressione letterale: formata da un solo termine. I monomi sono le espressioni letterali più semplici, li troviamo spesso in leggi matematiche, fisiche o economiche che legano grandezze di tipo diverso. Ne avrai sicuramente viste nel corso dei tuoi studi; ad esempio, se indichiamo con b la base di un triangolo e con h la sua altezza, la sua area A è data dalla formula:

in cui il prodotto

è un esempio di monomio.

Nella formula della legge di Hooke, che lega le grandezze forza F ed allungamento x :

è ancora un monomio

Definizioni e proprietà dei monomi

Definizione: un monomio è un’espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e potenze e, gli esponenti delle lettere sono numeri naturali. Un monomio è formato perciò da una parte numerica detta coefficiente e da una parte letterale.
Ecco alcuni esempi di monomi:

I monomi di esempio sono tutti ridotti a forma normale, cioè sono scritti come prodotto fra un numero e una o più lettere, diverse fra loro, con eventuali esponenti. Il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti delle lettere.
L’esponente con cui compare ogni lettera è detto grado rispetto a quella lettera. Descriviamo quindi il monomio

:

• +2 è il coefficiente
• [math]a^2b[/math]
  è la parte letterale
• il monomio è di 3° grado
• il monomio è di 2° grado rispetto alla lettera a
• il monomio è di 1° grado rispetto alla lettera b

Non sono quindi monomi:

.
Nel primo la lettera al denominatore ha un esponente non intero, nel secondo ci sono due lettere sommate in parentesi, perciò è un binomio.
Si dicono simili monomi che hanno la stessa parte letterale, ad esempio:

hanno la stessa parte letterale b.

La somma o la differenza tra due monomi è ancora un monomio se i monomi sono simili fra loro. Se sommo i monomi di prima ottengo il monomio

, infatti:

Vale la regola generale: la somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile a quelli dati, che ha per coefficienti la somma algebrica dei coefficienti.
Se i due monomi non sono simili, ottengo quello che si chiama binomio una espressione letterale formata da due termini che hanno la parte letterale diversa. Ricordiamo che le operazioni di addizione e sottrazione possono essere indicate sinteticamente con addizione algebrica e il loro risultato con somma algebrica. Naturalmente si possono sommare anche più di due monomi non simili. Vediamo ora degli esempi di binomi:

Due monomi simili sono opposti se sono opposti i loro coefficienti. La somma di due monomi opposti è il monomio nullo cioè lo zero:

sono monomi opposti.

Ricordiamo ancora che tutti i numeri si possono considerare monomi che hanno solo il coefficiente numerico, compreso lo zero. Infine quando il coefficiente vale

viene sottinteso, infatti:

hanno coefficienti unitari.

Cubo di un binomio

La parola cubo di binomio sta ad indicare che bisogna elevare alla terza potenza un binomio cioè una somma di due monomi. Consideriamo per semplicità due monomi di primo grado con coefficiente unitario cioè uguale ad 1:

, e scriviamo la loro somma in una parentesi tonda e poi eleviamo alla terza potenza:

abbiamo scritto un cubo di binomio.
Lo sviluppo di questa potenza è un prodotto notevole, per il quale esiste una formula semplificata che, una volta memorizzata, ci consente di svolgere in maniera rapida l’operazione richiesta. La regola di sviluppo è la seguente:

Il cubo di un binomio è uguale alla somma di 4 termini che sono rispettivamente:

• [math]a^3[/math]
  il cubo del primo termine;
• [math]+3a^2b[/math]
  il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine;
• [math]+3ab^2[/math]
  il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine;
• [math]+b^3[/math]
  il cubo del secondo termine;

Nell’esempio base sono stati considerati due monomi di primo grado a coefficienti unitari e di grado positivo ma la regola di sviluppo può essere memorizzata mediante uno schema ricorrente ed applicabile ad ogni tipo di binomio.

Regola dello sviluppo, dimostrazione

Vediamo come si giunge alla regola di sviluppo.
La scrittura

, secondo la definizione di potenza, significa moltiplicare il fattore

tre volte per se stesso:

eseguendo il prodotto tra i primi due fattori, possiamo riscrivere il tutto come prodotto di un quadrato di binomio per un binomio di primo grado:

il quadrato di binomio è un altro prodotto notevole che ha la seguente regola di sviluppo:

sostituiamo nello sviluppo del cubo:

e moltiplichiamo i termini della prima parentesi per ciascuno dei termini della seconda:

sviluppiamo tutti i prodotti e sommiamo quelli simili:

otteniamo così la regola di sviluppo vista all’inizio del paragrafo:

Cubo di binomio lo schema per ricordare la formula

Riscriviamo lo sviluppo del prodotto notevole:

Cosa si nota? Il primo monomio è un cubo analogamente al quarto, lo sviluppo si apre con un cubo

e si chiude con un cubo

. Osserviamo gli altri due monomi, abbiamo due tripli prodotti: cioè un 3 che moltiplica due fattori

, in questi tripli prodotti l'esponente 2 una volta è sulla prima lettera,

, una volta è sulla seconda lettera

. Scriviamo allora la struttura completa dello sviluppo:

Se vogliamo possiamo usare le maiuscole, come riportato in molti testi di matematica, anche per non confondersi con le lettere usate nelle tracce degli esercizi:

Questo è lo schema che va applicato di volta in volta al binomio di cui bisogna sviluppare il cubo. Vediamo allora alcuni esempi.

Esercizi sullo sviluppo del cubo di binomio

Il primo passo è scrivere lo schema che abbiamo trovato:

Vediamo ora chi sono i due termini del binomio:

ora riempiamo lo schema:

adesso svolgiamo le potenze e tutti i prodotti:

Osserviamo che il secondo termine del binomio è negativo e lo è anche il primo triplo prodotto dello sviluppo. Bisogna sempre prestare attenzione ai segni dei monomi, soprattutto quando sono negativi perché il segno finale di un prodotto difende dai segni di tutti i fattori.
Ricordiamo sempre che il prodotto di due fattori è negativo quando sono discordi mentre è positivo se sono concordi in segno:

Esempio 2

Scriviamo di nuovo lo schema che abbiamo trovato:

vediamo chi sono i due termini del binomio:

ora riempiamo lo schema:

adesso svolgiamo le potenze, facendo attenzione che compare una potenza di potenza:

Per ulteriori approfondimenti sul cubo di binomio vedi anche qui