calcolare il cubo del binomio


Cubo del binomio


Per riuscire a spiegare il calcolo e, di conseguenza, la formula per il cubo di un binomio, dobbiamo essere prima sicuri di sapere cosa si intende per monomio. Se già sai di cosa stiamo parlando salta pure al passaggio successivo.

Definizione: per monomio si intende un termine formato da un numero (con segno) e una parte letterale che può essere costituita da una o più lettere, ognuna delle quali con un elevamento a potenza. Ad esempio,

[math]+2a^2b[/math]
o
[math]-17xy^3z^4[/math]
sono monomi.
Se sommo due monomi, ottengo quello che si chiama binomio.
NOTA: con il termine "somma" si intende addizione o sottrazione!

Esempi di binomi:

[math]2ab^3 + 4xy\\
oppure \ \ \\
-5x+13t^5[/math]

sono binomi.

A questo punto, possiamo enunciare la formula per il cubo del binomio. Indicheremo con

[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
due monomi generici; quindi possiamo scrivere:
[math]\\(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[/math]

Ora però diamone la dimostrazione.

Dire

[math](a+b)^3[/math]
, secondo la definizione di potenza, equivale a dire di moltiplicare il termine
[math](a+b)[/math]
tre volte per se stesso:
[math](a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)[/math]

Per risolverlo, quindi, devo solo ricordarmi le regole di moltiplicazione tra monomi. Infatti, se eseguo tutte le moltiplicazioni, ottengo:
[math](a+b)(a+b)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+a^2b+2a^3b+2ab^2+ab^2+b^3[/math]
da cui, sommando i termini simili, si ottiene banalmente che
[math]\\(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[/math]

Facciamo un esempio per capire come si applica questa formula.

Esempio:

[math](2a - 3x)^3=(2a)^3+3(2a)^2(-3x)+3(2a)(-3x)^2+(-3x)^3=\\
8a^3-36a^2x+54ax^2-27x^3[/math]
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