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Coefficienti binomiali


Propedeutica alla definizione di coefficiente binomiale è la definizione di numero fattoriale.
I numeri fattoriali si indicano con il simbolo "n!", dove "n" è un numero intero positivo. Il suo valore (che è anche la sua definizione) è dato dal prodotto di tutti i numeri interi positivi minori o uguali ad esso.
In formula:
[math]n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4....\cdot n.[/math]

Così ad esempio:

[math]6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 = 720[/math]

Nei numeri fattoriali si assume per assioma che 0! = 1.

Esistono fattoriali per qualsiasi numero, ma in questo appunto ci limiteremo a quelli appena introdotti, e che per completezza dovremmo chiamare "fattoriali di numeri naturali".

Passiamo ora ai coefficienti binomiali.
I coefficienti binomiali si indicano con questo simbolo:

[math]\binom{n}{k}[/math]


Dove "n" e k" sono numeri naturali (cioè numeri interi e positivi).
Un altro modo, sebbene meno usato, per indicarli è:
[math]C(n;k)[/math]

I coefficienti binomiali sono a loro volta numeri naturali.
Per ottenere tale condizione occorre che "k" sia inferiore o al massimo uguale ad "n". In formula:

[math]k \le n.[/math]

Il valore del coefficiente binomiale si calcola con una formula ben precisa, che è la seguente:

[math]\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} [/math]

Facciamo un esempio


[math]\binom{6}{5}[/math]

Come si vede, è rispettata la condizione di partenza, ovvero 6 e 5 sono numeri naturali e 5 è minore di 6.

[math]\binom{6}{5} = \frac{1 \cdot2\cdot3 \cdot 4 \cdot5 \cdot 6}{1 \cdot2\cdot3 \cdot 4 \cdot5 \cdot (6-1)!} = \frac{720}{120\cdot 1!} = \frac{720}{120\cdot 1} = 6[/math]

I coefficienti binomiali godono di una serie di proprietà:

1) Il coefficiente binomiale di due numeri uguali è sempre pari ad 1 e si esprime in formula:

[math]\binom{n}{n} = 1[/math]

Considerando che il fattoriale 0! è per definizione pari ad 1, possiamo anche scrivere che:

[math]\binom{n}{0} = 1[/math]

E quindi che:

[math]\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = 1[/math]

2) Il coefficiente binomiale nel quale il termine "k" è pari ad 1, dà come valore dell'intero coefficiente binomiale il numero "n".

In formule:

[math]\binom{n}{1} = n[/math]

Si può anche intuire che:

[math]\binom{n}{n-1} = n[/math]

E quindi che:

[math]\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n[/math]

3° Proprietà:

[math]\binom{n}{n-1} = n[/math]
equivale a scrivere
[math]\binom{n}{n-k} = n[/math]
.
Questo si dimostra facilmente: applicando la definizione di valore del coefficiente binomiale ad entrambi i termini, si appurerà che essi hanno lo stesso valore.


Le due proprietà che seguono sono assai difficili da dimostrare, e complesse da applicare. Ci limiteremo quindi a formularle.

4° Proprietà


[math]\binom{n}{0} + \binom{n}{1} +\binom{n}{2} + ...\binom{n}{n}= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}= 2^n[/math]

5° Proprietà:

[math]\binom{n +1}{k+1} = \binom{n}{k+1} +\binom{n}{k}[/math]

Quest'ultima proprietà è molto importante perchè consente di calcolare attraverso i coefficienti binomiali il "triangolo di Tartaglia".
Il "triangolo di Tartaglia" (che deve il suo nome al matematico bresciano che lo inventò, Niccolò Tartaglia) è una costruzione geometrico-aritmetica che consente di calcolare i coefficienti di sviluppo di qualsiasi binomio:

[math](a+b)^n[/math]

...con "n" costituito da un numero intero.

Ad esempio:

[math](a+b)^3 = αa^3 + βa^2b + γb^2a +δb^3[/math]

I coefficienti α,β,γ,δ sono facilmente ricavabili da triangolo di Tartaglia e sono in questo esempio rispettivamente:α=1, β=3, γ=3, δ=1.

Per cui lo sviluppo è pari a:

[math](a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3b^2a +b^3[/math]
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