In questo appunto vengono spiegati in modo approfondito alcuni prodotti notevoli utili per svolgere in modo più veloce alcuni calcoli e alcune espressioni matematiche; verranno analizzati la somma per la differenza di due monomi, il quadrato di un binomio, il quadrato di un trinomio e il cubo di un binomio.
Per comprendere meglio tali prodotti notevoli è utile ripassare brevemente il significato di monomio, binomio, polinomio, somma e prodotto tra polinomi.
Monomi, binomi, polinomi
Un monomio è un’espressione letterale algebrica in cui non sono presenti somme ma solo moltiplicazioni, divisioni o elevamenti a potenza.
Esempi di monomi sono:
Nel caso in cui l’espressione letterale algebrica contiene delle somme o delle differenze si parla in generale di polinomio (i termini o meglio gli addenti che compongono l’espressione sono molti).
Nel caso specifico in cui il polinomio sia costituito da due termini, si parla di binomio mentre se è costituito da 3 termini si parla di trinomio.
Per ulteriori approfondimenti sui monomi vedi anche qua
Somma e prodotto tra polinomi
La somma tra monomi può essere eseguita solo se i monomi sono simili ovvero se hanno la stessa parte letterale.
Consideriamo quindi la seguente somma tra due polinomi:
Consideriamo un monomio alla volta e controlliamo se nell’espressione è presente un monomio simile, vediamo ad esempio che 2x e 4x hanno la stessa parte letterale perciò sono simili e possiamo eseguire la somma.
La somma corrisponde ad un monomio che ha la stessa parte letterale dei due monomi considerati e ha come parte numerica la somma delle parti numeriche dei due monomi di partenza perciò:
Tale operazione può essere eseguita per tutti i monomi simili perciò l’espressione sopra riportata può essere riscritta come:
Dalla risoluzione dell’espressione possiamo notare come se un monomio non contiene alcun numero si sottintende che il coefficiente numerico è 1; nel prodotto non è importante l’odine dei fattori (proprietà commutativa) perciò le espressioni
e
sono equivalenti.
Il prodotto tra polinomi può essere svolto eseguendo il prodotto tra ogni termine del primo polinomio con ogni termine del secondo polinomio.
Riportiamo in seguito un esempio generale:
Per ulteriori approfondimenti sulla proprietà commutativa vedi anche qua
Prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono un caso particolare di prodotto tra polinomi nei quali alcuni termini si sommano o si annullano, in tutti i casi che sono riportati in seguito è possibile eseguire il prodotto con il metodo sopra riportato e sommando i monomi simili oppure è possibile scrivere direttamente il risultato finale sfruttando le regole dei prodotti notevoli.
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo termine; scritto attraverso un’espressione algebrica corrisponde a:
Riportiamo in seguito un esempio:
Per applicare tale prodotto notevole è necessario quindi che i due binomi siano identici ad eccezione di un segno diverso.
Il quadrato di un binomio è uguale: al quadrato del primo termine + o – il doppio prodotto del primo termine per il secondo + il quadrato del secondo termine; sottoforma di espressione algebrica corrisponde a:
Tali espressioni possono essere ricavate eseguendo il prodotto tra i due binomi con il metodo riportato sopra, si nota che due monomi sono simili perciò è possibile eseguire la somma che genera il termine pari al doppio prodotto dei due monomi.
È necessario prestare attenzione poiché il quadrato di un binomio non equivale alla somma dei singoli termini al quadrato, è essenziale considerare anche il termine corrispondente al doppio prodotto.
Il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato di tutti i suoi termini + o – il doppio prodotto del primo termine per il secondo, + o – il doppio prodotto del primo termine per il terzo e infine il doppio prodotto del secondo termine per il terzo; sottoforma di espressione algebrica corrisponde a:
Anche in questo caso il quadrato del binomio corrisponde a:
Perciò l’espressione può essere ricavata eseguendo il prodotto tra tutti i termini contenuti nei due trinomi.
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio, più il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine; sottoforma di espressione algebrica corrisponde a:
In questo caso, come nel caso del quadrato di un binomio, il risultato non è pari al semplice cubo dei termini del polinomio ma è necessario considerare anche i termini misti che risultano dal prodotto del binomio.
Il cubo di un binomio può essere scritto come il prodotto di 3 binomi:
A partire da tale espressione, se non si ricorda direttamente il risultato del prodotto notevole è possibile svolgere il prodotto tra tutti i termini del primo binomio con il secondo, si sommano i monomi simili e il risultato lo si moltiplica per il terzo binomio nel prodotto, si sommano i termini simili e si ottiene il risultato del cubo di un binomio, il risultato che si ottiene è lo stesso che si ottiene utilizzando l’espressione riportata sopra sul cubo di un binomio.
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