Quest'appunto di matematica descrive i prodotti notevoli principali, la loro definizione e le formule annesse. In particolare, i prodotti presentati sono: quadrato di binomio, quadrato di polinomio, cubo di binomio e differenza di quadrati.
Cosa sono i prodotti notevoli e perchè utilizzarli
Svolgere operazioni le operazioni di potenze e prodotti tra polinomi può essere abbastanza complesso se ci si affida al metodo generale.
Nonostante effettuare le operazioni monomio per monomio conduca sempre e comunque a dei risultati esatti, vi sono dei casi particolari in cui è possibile velocizzare il calcolo. Questi ultimi sono rappresentati dai prodotti notevoli.
I prodotti notevoli sono il risultato noto di alcune operazioni tra polinomi ricorrenti: per questo motivo, essi aiutano ad accorciare le tempistiche di calcolo, abbassando di molto anche le probabilità di incorrere in errori. Essi possono essere utili in due casi ben distinti:
- quando si sta cercando di svolgere un' equazione, ed è necessario scriverla nel modo più esteso possibile. In questo caso "svolgere" i prodotti notevoli facilita la scrittura della forma esplicita dell'equazione
- quando è necessario rendere un'equazione più compatta: riconoscere i prodotti notevoli, infatti, può aiutare a scrivere in una forma abbreviata una somma di monomi particolare
Esistono diversi prodotti notevoli: conoscerli bene aiuta a rintracciarli più facilmente durante la risoluzione degli esercizi.
Quali sono i prodotti notevoli
Prima di passare ad un excursus più approfondito e agli esempi, facciamo un elenco dei prodotti notevoli principali:
- il quadrato di un binomio
- il quadrato di un polinomio
- il cubo di un binomio
- la differenza di quadrati
Il quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio è un trinomio formato dal quadrato del primo termine, dal doppio prodotto dei due termini e dal quadrato del secondo termine. In termini matematici è possibile definirlo come:
Se, invece, il binomio è
è possibile scriverlo nel seguente modo:
Esempio
Supponiamo di avere il binomio
. Il quadrato del binomio è il seguente:
.
Se, invece, il binomio è
, il quadrato è:
Il quadrato di un polinomio
Il quadrato di un polinomio è un polinomio formato dalla somma dei quadrati dei suoi termini e dai doppi prodotti dei termini presi a due a due. In termini matematici, ciò significa dire che:
Se, invece, il polinomio è
, possiamo dire che:
Esempio
Supponiamo di avere il polinomio
. Il quadrato del polinomio è il sequente
.
Il cubo di un binomio
Il cubo di un binomio è un quadrinomio formato dalla somma del cubo del primo termine, dal triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, dal triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo e dal cubo del secondo termine. Cioè:
Esempio
Consideriamo il binomio
. Il cubo del binomio è
La differenza di quadrati
La somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza del quadrati del monomio che cambia di segno meno il quadrato del monomio che cambia di segno. Ciò equivale a dire:
Esempio
Come si esplicita la differenza di quadrati
? La risposta è:
Svolgere una grande quantitativo di esercizi è il primo step per memorizzare i prodotti notevoli. Ecco due esercizi, ordinati per difficoltà crescente, adatti anche a valutare il tuo livello di comprensione dell'argomento:
Esercizio: riscrivi in modo più compatto possibile i seguenti polinomi
- [math](4b-2a)(4b+2a)-a^2+b^2+2ab[/math]
-
[math]3x^2y+3y^2x+x^2+y^2+x^3+y^3+2xy[/math](Suggerimento: nella somma algebrica vale la proprietà commutativa, quindi ...)
-
[math]16b^2-4a^2-(a+b)^2[/math]: in questo caso, ci sono due prodotti notevoli: una differenza di quadrati e un quadrato di binomio.
-
[math](x+y)^3+(x+y)^2[/math]: i prodotti notevoli presenti sono un cubo di binomio e un quadrato di binomio. I termini, però, risultano non in ordine: ciò non cambia il risultato grazie alla proprietà commutativa della somma algebrica
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