Funzione crescente, decrescente e punti stazionari

Algebra

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Appunto di algebra che presenta un'analisi delle funzioni crescenti, decrescenti e i punti stazionari, grafico e monotonia con software geogebra.

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Sintesi

In questo appunto di algebra si parla di funzioni crescenti e decrescenti. Proponiamo un approfondimento sulla monotonia in base alla quale si stabilisce se una funzione è crescente oppure no, con alcuni esempi annessi. Partiamo dalle definizioni di base delle funzioni per introdurre l'argomento e poi proseguiamo ad analizzare come usare un software per tracciare il grafico e studiare la monotonia.

Funzioni di variabile reale: generalità

Una funzione è una particolare relazione sussistente tra due insiemi indicati genericamente con le maiuscole A e B tale che ad ogni elemento del primo fa corrispondere uno e un solo elemento del secondo insieme. Dati allora A e B non vuoti, in simboli matematici l’applicazione o funzione dal primo insieme A al secondo insieme B, viene scritta come segue:

[math]f:x \in A\to y \in B[/math]

e leggiamo “effe da A a B”.
Scriviamo anche nel modo seguente:

[math]y =f(x)[/math]

In questo modo indichiamo che y, è l’immagine di x attraverso la funzione f e che x è la controimmagine di y.
La funzione

[math]f[/math]

fa corrispondere la variabile

[math]x[/math]

alla

[math]f(x)[/math]

.
In modo equivalente si dice che la funzione
[math]f[/math]
trasforma
[math]x[/math]
in
[math]f(x)[/math]
.
L’insieme A, che contiene le x, è definito dominio della funzione; l’insieme di arrivo, quello degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A costituiscono l'insieme delle immagini o codominio.
Quando i due insiemi A e B sono sottoinsiemi di

[math]\Re[/math]

le funzioni sono dette numeriche, dominio e codominio sono insiemi numerici e i loro elementi vengono chiamati variabili, x è detta variabile indipendente, y è detta variabile dipendente perché il suo valore dipende dalla x scelta e dalle operazioni che la funzione compie su di essa.
Una funzione matematica può essere vista come un algoritmo che comprende tutte le operazioni da compiere su un valore x del dominio per ottenere il corrispondente valore y. Quando scriviamo:

[math]y =f(x)[/math]

stiamo indicando l’equazione della funzione e al secondo membro poniamo l'espressione analitica o espressione matematica della funzione. Le funzioni sono di vario tipo, vediamone una classificazione generale.

Tipologie di funzioni

Le funzioni reali di una variabile reale sono classificate in due grandi famiglie: funzioni algebriche e funzioni trascendenti.
Nelle funzioni algebriche bisogna eseguire un numero finito di operazioni algebriche sulla variabile

[math]x[/math]

per ottenere la sua immagine y. Le operazioni in questione sono: addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza e anche l’estrazione di radice n-esima.
Le funzioni algebriche comprendono perciò:

le razionali intere: i polinomi

le razionali fratte: quoziente tra due polinomi

irrazionali: radici di indice pari o dispari di polinomi

Una funzione razionale intera ha per espressione analitica un polinomio in una sola variabile.
Un razionale fratta ha un'espressione analitica in cui la variabile x compare anche al denominatore come nelle frazioni algebriche.
Le funzioni irrazionali comprendono operazioni di estrazione di radice sulla variabile indipendente x.
La famiglia delle funzioni trascendenti comprende quelle funzioni dove sono presenti altri tipi di operazioni comprese quelle algebriche. Appartengono a questo tipo di funzioni: le funzioni goniometriche, le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni goniometriche vedi qua

Simmetria centrale e assiale: funzioni pari e dispari

Un insieme A, sottoinsieme di R si definisce simmetrico rispetto allo zero se per ogni elemento x che appartiene ad esso, anche il suo simmetrico si trova sempre nell’insieme A, in simboli matematici:

[math]x \in A \to -x\in A[/math]

Valgono le seguenti definizioni:
Una funzione f definita nell’insieme A e a valori in R, si dice:

pari, se risulta
[math]f(x)=f(-x), \forall x \in A[/math]
;

dispari, se risulta
[math]f(-x)=-f(x), \forall x \in A[/math]
;

le funzioni pari e dispari presentano una simmetria osservabile nei loro grafici. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y. Di conseguenza se un punto

[math]P_0(x;y)[/math]

appartiene al grafico, anche il punto simmetrico

[math]P_1(-x;y)[/math]

vi appartiene.
Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine O del riferimento cartesiano.
Per la definizione di funzione dispari, se un punto

[math]P_0(x;y)[/math]

appartiene al grafico di f, anche il punto

[math]P_1(-x;-y)[/math]

vi appartiene.
Le funzioni pari e dispari dunque si riconoscono dal grafico, perché questo presenta una forma di simmetria.
Studiare la parità di una funzione significa determinare se sia pari o dispari, verificando una delle due identità:

[math]f(x)=f(-x)\ \ o \ \ f(-x)=-f(x)[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulla simmetria assiale vedi qua

Esempi di funzioni pari e dispari

Sono funzioni pari tutte le funzioni razionali intere che presentano solo potenze pari, senza il termine noto:

[math]y=x^4[/math]

[math]y=\pi x^4-3x^2[/math]

[math]y=x^6[/math]

[math]y=x^n[/math]
è pari se n è pari

Sono pari anche le seguenti funzioni:

[math]y=\sqrt{ex^4}[/math]

[math]y=cos x[/math]

[math]y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math]

Sono dispari le seguenti funzioni polinomiali:

[math]y=-x^3[/math]

[math]y=x^5-2x[/math]

[math]y=x^n[/math]
è dispari se n è dispari

Altri esempi di funzione dispari:

[math]y=\sqrt[5]{-x}[/math]

[math]y=sin x[/math]

[math]y=\frac{x^3}{x^2-1}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni algebriche vedi qua

Funzione crescente o debolmente crescente

Sia D il dominio di una funzione a variabile reale, vale la definizione seguente:
f è crescente in un intervallo I, sottoinsieme del suo dominio D se, scelti due punti

[math]x_1, x_2[/math]

qualsiasi appartenenti ad esso, tra le immagini

[math]y_1, y_2[/math]

vi èla stessa relazione d’ordine che c’è tra i punti scelti. Per una funzione crescente al crescere della variabile x cresce anche il valore della sua immagine f(x):

[math]x_1, x_2 \in I \wedge x_1 < x_2 \to f(x_1)<f(x_2)[/math]

La funzione è sempre crescente quando la condizione è verificata in ogni punto del dominio D.
f è debolmente crescente in un intervallo I, se in qualche punto vale la relazione

[math]\leq[/math]

[math]x_1, x_2 \in I \wedge x_1 < x_2 \to f(x_1)\leq f(x_2)[/math]

Funzione decrescente o debolmente decrescente

Una funzione con dominio D, si dice decrescente in un intervallo I, sottoinsieme del suo dominio D se, comunque si scelgano due punti appartenenti ad esso, la relazione d’ordine che c’è tra le immagini è inversa a quella che c’è tra i punti scelti. Per una funzione decrescente al crescere della variabile x decresce il valore della sua immagine f(x):

[math]x_1, x_2 \in I \wedge x_1 < x_2 \to f(x_1)>f(x_2)[/math]

La funzione è sempre decrescente se la condizione è verificata in ogni punto del dominio.
f è debolmente decrescente in un intervallo I, se in qualche punto vale la relazione

[math]\geq[/math]

[math]x_1, x_2 \in I \wedge x_1 < x_2 \to f(x_1)\geq f(x_2)[/math]

Nei tratti in cui la funzione è debolmente crescente o debolmente decrescente, si osserva che il grafico presenta dei tratti stazionari in cui le immagini assumono lo stesso valore, cioè in alcuni tratti la funzione è costante.
In generale una funzione che in un determinato intervallo I, assume uno degli andamenti visti, si definisce anche monotóna.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qui

Funzioni crescenti e decrescenti con Geogebra

Il file in allegato contiene l’immagine del grafico di una funzione razionale intera la cui espressione analitica è una equazione di terzo grado. Si tratta di una parabola cubica il cui grafico ha un'intersezione con l'asse delle ordinate nel punto (0; 2), un intersezione con l'asse delle ascisse nel punto (-2; 0) ed è tangente sempre all'asse delle ascisse nel punto (1; 0).
Per tracciare la il grafico occorre digitare l’espressione della funzione:

[math]y = x^3-3x+2[/math]

Poi ci servono i punti sulla curva:

[math]a=1[/math]

[math]A =(a, a^3-3a+2)[/math]

Con

[math]a=1[/math]

realizzare uno slider, e portare l'intervallo a

[math]2[/math]

.
Disegnare una circonferenza di centro

[math]A[/math]

e raggio

[math]1[/math]

ed evidenziare i punti

[math]C[/math]

[math]D[/math]

sulla tangente.
Con lo strumento testo, digitare quanto segue:

“La funzione è crescente”, e nelle avanzate
[math]f’(a)>0[/math]

“La funzione è decrescente”, e nelle avanzate
[math]f’(a)<0[/math]

“La funzione ha un punto stazionario”, e nelle avanzate
[math]f'(a) ≟ 0[/math]

È possibile, per ognuna delle tre scritte, scegliere un colore diverso. Nell'immagine allegata compare una sola scritta, poiché non possono comparire tutte e tre contemporaneamente. Per gli altri passaggi, seguire la vista algebrica.