In questo appunto di matematica ci focalizzeremo sul criterio di monotonia per le funzioni. Inoltre, verranno definite le funzioni e verrà fatta una breve classificazione.
Monotonia di una funzione
La monotonia di una funzione è una proprietà che riguarda l’andamento di crescita e di decrescita di una funzione.Essa, solitamente, è riferita al suo dominio o ad un intervallo contenuto all’interno del suo dominio.
Possiamo avere quattro tipologie di monotonia:
- Funzione monotona crescente: in altre parole è una funzione che cresce;
- Funzione monotona decrescente: in altre parole è una funzione che decresce;
- Funzione monotona non crescente: in altre parole è una funzione che decresce o resta uguale;
- Funzione monotona non decrescente: in altre parole è una funzione che cresce o resta uguale.
Per ulteriori approfondimenti sulla monotonia di una funzione vedi anche qua
Criterio di monotonia
Sia[math]f[/math]
una funzione reale continua in un intervallo chiuso [math][a,b][/math]
e derivabile in [math](a,b)[/math]
.La funzione
[math]f[/math]
è strettamente crescente nell’intervallo [math](a,b)[/math]
se e solo se:[math]f’(x) > 0 \forall x \in (a,b)[/math]
La funzione
[math]f[/math]
è strettamente decrescente nell’intervallo [math](a,b)[/math]
se e solo se:[math]f’(x) > 0 \forall x \in (a,b)[/math]
Dimostrazione:
Si considerano due punti
[math]x_1[/math]
e [math]x_2[/math]
dell’intervallo [math](a,b)[/math]
tali che [math]x_1 > x_2[/math]
.Se la funzione
[math]f[/math]
è strettamente crescente nell’intervallo [math](a,b)[/math]
deve risultare che [math]f(x_1) > f(x_2)[/math]
.Per il teorema di Lagrange, deve esistere nell’intervallo
[math][x_11, x_2][/math]
incluso in [math](a,b)[/math]
, un punto [math]x_0[/math]
tale che:[math]f’(x_0) = \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2-x_1} \rightarrow f’(x_0) \cdot (x_2 – x_1) = f(x_2) – f(x_1)[/math]
Poiché la derivata
[math]f’(x_0)[/math]
è positiva per ipotesi e così la differenza [math]x_2 – x_1[/math]
, perché valga l’uguaglianza anche [math]f(x2) - f(x_1)[/math]
deve essere maggiore di 0.Si può pertanto concludere che:
[math]f(x_2) – f(x_1) > 0 \rightarrow f(x_2) > f(x_1)[/math]
Che cos’è una funzione?
Una funzione matematica è una relazione tra due insieme[math]A[/math]
e [math]B[/math]
, chiamati anche dominio e codominio , che associa a ogni elemento del dominio [math]A[/math]
, uno e un solo elemento del codominio [math]B[/math]
.
Questa relazione si indica con:[math] f:A \rightarrow B [/math]
[math]f[/math]
dipende da [math]x[/math]
, in questo modo [math] f(x)[/math]
e [math]x \in \Re[/math]
.[math]x[/math]
è la variabile indipendente, mentre [math]y[/math]
è variabile dipendete rispetto a [math]x[/math]
.Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qua
Classificazione delle funzioni matematiche
Le funzioni si possono classificare in due macrogruppi:- Funzioni algebriche;
- Funzioni trascendenti ;
A loro volta le funzioni algebriche si suddividono in:
- Funzioni algebriche razionali intere;
- Funzioni algebriche razionali fratte;
- Funzioni algebriche irrazionali intere;
- Funzioni algebriche irrazionali fratte;
Così come le funzioni algebriche, anche le trascendenti si suddividono in:
- Funzioni trascendenti trigonometriche;
- Funzioni trascendenti logaritmiche;
- Funzioni trascendenti esponenziali;
Dominio di una funzione
Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i possibili valori reali che si possono assegnare alla[math]x[/math]
in modo da ottenere un dato valore di [math]y[/math]
secondo la relazione:[math]y = f(x) [/math]
Il dominio viene chiamato anche campo di esistenza, esso contiene tutte le condizioni di esistenza della
[math]x[/math]
.Il dominio di una funzione si indica con
[math]Dom(f) [/math]
.
Codominio di una funzione
Ricordando la definizione di funzione: una funzione matematica è una relazione tra due insieme[math]A[/math]
e [math]B[/math]
, chiamati anche dominio e codominio , che associa a ogni elemento del dominio [math]A[/math]
, uno e un solo elemento del codominio [math]B[/math]
.Quindi il codominio è l’insieme formato dalle immagini di
[math]A[/math]
.
Immagine e controimmagine della funzione
L’immagine di una funzione è l’insieme dei valori assunti dalla funzione nel suo dominio. Quindi è contenuta nell’insieme di arrivo della funzione, che è il suo codominio.Di conseguenza, sarà ovvio che l’insieme delle controimmagini è il dominio della relazione stessa.
Proprietà delle funzioni
Le principali proprietà delle funzioni sono:- Funzione iniettiva
- Funzione suriettiva
- Funzione biunivoca
- Funzione inversa
- Funzione pari
- Funzione dispari
Una funzione è iniettiva se ogni elemento di
[math]B[/math]
è l’immagine al massimo di un elemento di [math]A[/math]
; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.Una funzione è suriettiva se ogni elemento di
[math]B[/math]
è l’immagine al massimo di un elemento di [math]A[/math]
; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.Una funzione è biunivoca se ogni elemento di
[math]B[/math]
è raggiunto da un solo elemento di [math]A[/math]
; in altre parole, una funzione è biunivoca o biettiva quando è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva.La funzione inversa esiste solo per le funzioni biunivoche, ed è quella per cui ogni elemento del dominio è raggiunto da un solo elemento del condominio.
Una funzione che possiede la sua inversa viene chiamata invertibile.
Una funzione è pari se è simmetrica rispetto all’asse delle
[math]y[/math]
.Vale la seguente relazione:
[math] f(x) = f(-x) [/math]
.Una funzione è dispari se è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Vale la seguente relazione:
[math] f(x) = -f(-x) [/math]
.
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