SteDV di SteDV
Habilis 4202 punti

Criterio di monotonia[/b

Sia

[math]f[/math]
una funzione reale continua in un intervallo chiuso
[math][a,b][/math]
e derivabile in
[math](a,b)[/math]
.
La funzione
[math]f[/math]
è strettamente crescente nell’intervallo
[math](a,b)[/math]
se e solo se:


[math]f’(x) > 0 \forall x \in (a,b)[/math]

La funzione

[math]f[/math]
è strettamente decrescente nell’intervallo
[math](a,b)[/math]
se e solo se:


[math]f’(x) < 0 \forall x \in (a,b)[/math]

Dimostrazione
Si considerano due punti

[math]x_1[/math]
e
[math]x_2[/math]
dell’intervallo
[math](a,b)[/math]
tali che
[math]x_1 < x_2[/math]
.
Se la funzione
[math]f[/math]
è strettamente crescente nell’intervallo
[math](a,b)[/math]
deve risultare che
[math]f(x_1) < f(x_2)[/math]
.


Per il teorema di Lagrange, deve esistere nell’intervallo

[math][x_11, x_2][/math]
incluso in
[math](a,b)[/math]
, un punto
[math]x_0[/math]
tale che:


[math]f’(x_0) = \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2-x_1} \rightarrow f’(x_0) \cdot (x_2 – x_1) = f(x_2) – f(x_1)[/math]

Poiché la derivata

[math]f’(x_0)[/math]
è positiva per ipotesi e così la differenza
[math]x_2 – x_1[/math]
, perché valga l’uguaglianza anche
[math]f(x2) - f(x_1)[/math]
deve essere maggiore di 0.
Si può pertanto concludere che:

[math]f(x_2) – f(x_1) > 0 \rightarrow f(x_2) > f(x_1)[/math]

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