Monotonia di una funzione e criterio di monotonia

In questo appunto di matematica ci focalizzeremo sul criterio di monotonia per le funzioni. Inoltre, verranno definite le funzioni e verrà fatta una breve classificazione.

Monotonia di una funzione

La monotonia di una funzione è una proprietà che riguarda l’andamento di crescita e di decrescita di una funzione.
Essa, solitamente, è riferita al suo dominio o ad un intervallo contenuto all’interno del suo dominio.
Possiamo avere quattro tipologie di monotonia:

• Funzione monotona crescente: in altre parole è una funzione che cresce;
• Funzione monotona decrescente: in altre parole è una funzione che decresce;
• Funzione monotona non crescente: in altre parole è una funzione che decresce o resta uguale;
• Funzione monotona non decrescente: in altre parole è una funzione che cresce o resta uguale.

Per ulteriori approfondimenti sulla monotonia di una funzione vedi anche qua

Criterio di monotonia

Sia

una funzione reale continua in un intervallo chiuso

e derivabile in

.
La funzione

è strettamente crescente nell’intervallo

se e solo se:

La funzione

è strettamente decrescente nell’intervallo

se e solo se:

Dimostrazione:
Si considerano due punti

e

dell’intervallo

tali che

.
Se la funzione

è strettamente crescente nell’intervallo

deve risultare che

.
Per il teorema di Lagrange, deve esistere nell’intervallo

incluso in

, un punto

tale che:

Poiché la derivata

è positiva per ipotesi e così la differenza

, perché valga l’uguaglianza anche

deve essere maggiore di 0.
Si può pertanto concludere che:

Che cos’è una funzione?

Questa relazione si indica con:

Dove

dipende da

, in questo modo

e

.

è la variabile indipendente, mentre

è variabile dipendete rispetto a

.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qua

Classificazione delle funzioni matematiche

Le funzioni si possono classificare in due macrogruppi:

• Funzioni algebriche;
• Funzioni trascendenti ;

A loro volta le funzioni algebriche si suddividono in:

• Funzioni algebriche razionali intere;
• Funzioni algebriche razionali fratte;
• Funzioni algebriche irrazionali intere;
• Funzioni algebriche irrazionali fratte;

Così come le funzioni algebriche, anche le trascendenti si suddividono in:

• Funzioni trascendenti trigonometriche;
• Funzioni trascendenti logaritmiche;
• Funzioni trascendenti esponenziali;

Dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i possibili valori reali che si possono assegnare alla

in modo da ottenere un dato valore di

secondo la relazione:

Il dominio viene chiamato anche campo di esistenza, esso contiene tutte le condizioni di esistenza della

.
Il dominio di una funzione si indica con

.

Codominio di una funzione

Ricordando la definizione di funzione: una funzione matematica è una relazione tra due insieme

e

, chiamati anche dominio e codominio , che associa a ogni elemento del dominio

, uno e un solo elemento del codominio

.
Quindi il codominio è l’insieme formato dalle immagini di

Immagine e controimmagine della funzione

Quindi è contenuta nell’insieme di arrivo della funzione, che è il suo codominio.

Di conseguenza, sarà ovvio che l’insieme delle controimmagini è il dominio della relazione stessa.

Proprietà delle funzioni

Le principali proprietà delle funzioni sono:

• Funzione iniettiva
• Funzione suriettiva
• Funzione biunivoca
• Funzione inversa
• Funzione pari
• Funzione dispari

Una funzione è iniettiva se ogni elemento di

è l’immagine al massimo di un elemento di

; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.
Una funzione è suriettiva se ogni elemento di

è l’immagine al massimo di un elemento di

; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.
Una funzione è biunivoca se ogni elemento di

è raggiunto da un solo elemento di

; in altre parole, una funzione è biunivoca o biettiva quando è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva.
La funzione inversa esiste solo per le funzioni biunivoche, ed è quella per cui ogni elemento del dominio è raggiunto da un solo elemento del condominio.
Una funzione che possiede la sua inversa viene chiamata invertibile.
Una funzione è pari se è simmetrica rispetto all’asse delle

.
Vale la seguente relazione:

.
Una funzione è dispari se è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Vale la seguente relazione:

.