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Grafico di una funzione matematica


Una funzione è una legge matematica che associa ad ogni valore della variabile x un unico (altrimenti si parla non di funzione ma di "relazione") valore della variabile y. Assegnato un valore qualunque alla variabile x (variabile indipendente), la legge matematica della funzione consente di calcolare il corrispondente valore della variabile y (variabile dipendente).


Tutte le funzioni possono essere rappresentate nel piano cartesiano ortogonale mediante un grafico. Per meglio dire, tutti i punti che appartengono alla funzione (e quindi dotati di coordinate (x,y) tali che, se sostituite nella funzione, ne rendono vera l'uguaglianza espressa), se rappresentati sul piano cartesiano ed uniti tramite linee rette o curve, danno origine ad un grafico.

Se la funzione in questione è molto semplice (una retta, una parabola, un'ellisse...) anche il tracciamento del suo grafico è un'operazione semplice: le coppie di valori (x,y) che soddisfano l'equazione della funzione rappresentano le coordinate dei punti appartenenti alla funzione. Tracciati questi punti nel piano cartesiano, occorrerà semplicemente unirli con una linea retta o curva.

Solitamente però, disegnare il grafico di una funzione non è semplice, e richiede tutta una serie di fasi più o meno complesse, note come studio di funzione. In alcuni casi è possibile aiutarsi attraverso specifici software che permettono, una volta inserita la funzione, di disegnarne l'andamento. In commercio ce ne sono molti, così come ne esistono versioni gratuite da poter scaricare o utilizzare direttamente dal web. Tuttavia in questi appunti tratteremo unicamente di come eseguire il grafico di una funzione a seguito dello studio di funzione, elencando brevemente le varie fasi che questo procedimento comporta.

Poichè lo studio di funzione è un procedimento che è già stato ampiamente descritto in un precedente appunto ad esso esplicitamente dedicato, nella presente trattazione ci si limiterà a ripercorrerne molto brevemente le fasi alla luce del tracciamento del grafico di una funzione.

Determinazione del dominio e del codominio della funzione


Assegnata la funzione, la prima operazione da eseguire su di essa è definire il suo dominio e il suo codominio.

Il "dominio" di una funzione è l'insieme di tutti i valori che la x può assumere nell'insieme R dei numeri reali, mentre il "codominio" della funzione è l'insieme di tutti i corrispondenti valori dell y.

Determinare il dominio di una funzione nell'insieme dei numeri reali viene chiamato anche "determinazione delle condizioni di esistenza" della funzione. Determinato il dominio (cioè i valori che la x può assumere), si stabilirà poi il codominio (cioè i valori che la y può assumere per quei valori della x) in base alla legge matematica espressa dalla funzione.

Determinazione di eventuali parità o disparità della funzione


Una funzione si dice pari se f(-x) = f(x) per ogni x appartenente al dominio della funzione.
Una funzione si dice dispari se f(-x) = - f(x) per ogni x appartenente al dominio della funzione.

Individuazione di eventuali punti di intersezione con l'asse X e Y


Determinare -se esistono- i punti in cui il grafico della funzione interseca i due assi fondamentali è molto utile per il tracciamento del grafico stesso.

I punti in cui la funzione interseca l'asse x avranno ordinata nulla. Per determinare questi punti sarà dunque sufficiente attribuire alla y il valore 0 e determinare il/i corrispettivo/i valore/i della variabile x.

I punti in cui la funzione interseca l'asse y avranno ascissa nulla. Per determinare questi punti sarà dunque sufficiente attribuire alla x il valore 0 e determinare il/i corrispettivo/i valore/i della variabile y.


Analisi di una funzione alle estremità del suo dominio(calcolo dei limiti)


Nel punto 1 è stato determinato il dominio della funzione. Quindi sappiamo bene dove la funzione è definita e dove non lo è.

A questo punto, per poterne tracciare il grafico, risulta molto utile capire cosa avviene quando si è infinitamente vicini al punto o ai punti dove essa non è definita, cioè ai limiti del dominio. Far questo significa calcolare il limite di una funzione alle estremità del suo dominio.

Come calcolare questi limiti non è semplice, e richiederebbe una trattazione a parte. Ci limiteremo a dire che per calcolare i limiti esistono precise regole, nel merito delle quali in questa sede non entriamo.

Molto importante è anche il calcolo dei limiti all'infinito, cioè agli estremi del campo reale, quando la variabile x diventa infinitamente grande, sia positivamente che negativamente.

I limiti all'infinito di una funzione consentono anche di capire se essa presenta degli asintoti orizzontali. Si dice che una funzione presenta un asintoto orizzontale se "tende" ad una retta orizzontale di equazione y=±k quando x assume valori infinitamente grandi o piccoli.

Oltre ai limiti all'infinito, possono esserci anche limiti infiniti. Una funzione ha limiti infiniti quando assume valori infinitamente grandi o piccoli (+∞ o -∞) in corrispondenza di particolari valori (anche +∞ o -∞) assunti dalla variabile x.
Quando una funzione "tende" ad una retta verticale di equazione x=±k se x assume particolari valori, si dice che essa è dotata di asintoti verticali.

Lo studio dei limiti di una funzione è molto importante, perchè permette di verificare la continuità di una funzione (e quindi la sua "derivabilità") in tutto il suo dominio. Laddove la funzione non è continua, si dice che essa presenta dei punti di discontinuità.

Valutazione dei massimi, dei minimi o dei punti di flesso di una funzione


Terminato questo studio, non resta che determinare se la funzione è dotata di punti di massimo o di minimo (assoluti o locali).

Per determinare i valori di massimo o di minimo (assoluti o locali) di una funzione è necessario calcolare la derivata prima della funzione stessa.

La derivata prima di una funzione (indicata spesso con il simbolo f'(x)) è a sua volta una funzione: quella della tangente alla funzione assegnata in uno qualsiasi dei suoi punti. Il processo di "derivazione" non è difficile, anche perchè segue regole ben precise, da imparare quasi a memoria.

Si ricorda però che la derivazione di una funzione è possibile solo negli intervalli dove questa è continua, ovvero nei punti all'interno del suo dominio privi di cuspidi, angoli o estremi. Nei punti dove la funzione non è continua (e quindi differenziabile) la tangente è verticale, e tali punti vengono detti punti singolari.

I punti in cui invece la derivata prima assume valore nullo (e quindi la tangente al grafico della funzione è orizzontale) vengono detti punti critici, e possono essere di varia natura.

Per essere certi che i valori della x tali da annullare la derivata prima siano punti di massimo o minimo assoluti (oppure locali), occorre sostituirli nella funzione assegnata, determinando i corrispettivi valori della y. Se questi valori, confrontati con quelli che la funzione assume negli altri punti critici, nei punti singolari e negli estremi del suo dominio, sono i più grandi o più piccoli che la funzione assume, si tratta di massimi o minimi assoluti. Altrimenti di massimi e minimi locali.

La derivata seconda della funzione permette invece di stabilire la concavità della funzione stessa, e quindi anche l'eventuale presenza di punti di flesso.

Se infatti la derivata seconda di una funzione in un certo intervallo è sempre positiva, allora la funzione ha la concavità rivolta verso l'alto in quell'intervallo. E se in tale intervallo si trova un punto che annulla la derivata prima, allora in quel punto è presente un minimo. Allo stesso modo, se la derivata seconda di una funzione in un certo intervallo è sempre negativa, allora la funzione ha in quell'intervallo la concavità rivolta verso il basso. E se in tale intervallo si trova un punto che annulla la derivata prima, in quel punto è presente un massimo.

I punti di flesso sono invece quei punti in cui la concavità della funzione è opposta dalla parte destra rispetto alla parte sinistra. In corrispondenza dei punti di flesso sono nulle sia la derivata prima che la derivata seconda della funzione.

Studio dei punti singolari


A questo punto, occorre eseguire l'analisi dei punti singolari, qualora naturalmente essi siano presenti. Cioè di cuspidi, angolarità, flessi verticali, ecc...

Tracciamento del grafico di una funzione


Terminato lo studio di funzione qui brevemente illustrato per sommi capi, è possibile disegnare il grafico della funzione.
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