In questo appunto di matematica si affrontano le funzioni che godono di particolari proprietà di simmetria e di quali sono le caratteristiche che le contraddistinguono.
Indice
Le funzioni
Si considerino gli insiemi A e B diremo che fra questi è definita una relazione
R_{AB}
[/math]
quando è indicata una legge che associa a qualche elemento di A uno o più elementi di B.
Diremo che una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB e viene individuata dalle coppie ordinate di elementi che si corrispondono.
Una relazione che soddisfa le seguenti condizioni:
- per ogni elemento di A esiste un elemento di B ad esso associato;
- tale elemento di B è unico
si definisce funzione.
Quindi diremo che una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B.
Una funzione viene anche chiamata corrispondenza biunivoca in quanto fa corrispondere ad ogni elemento dell’insieme A un unico elemento dell’insieme B.
Chiameremo insieme di partenza, l’insieme A ed insieme di arrivo, l’insieme B.
L’insieme di partenza viene chiamato dominio o campo di esistenza della funzione, mentre il sottoinsieme di B, formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio.
Quando gli insiemi A e B sono numerici, le funzioni vengono chiamate numeriche.
Le funzioni numeriche che tratteremo sono a valori reali, ossia il loro dominio sarà l’insieme dei numeri reali R o un suo sottoinsieme e lo stesso si dirà del suo codominio: funzioni reali di variabile reale.
Chiameremo variabile indipendente e la indicheremo con x, gli elementi dell’insieme dominio; mentre chiameremo variabile dipendente e la indicheremo con y, gli elementi dell’insieme codominio.
Il campo di esistenza di una funzione è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y.
Le funzioni si suddividono in:
- algebriche;
- trascendenti.
Le funzioni algebriche a sua volta si distinguono in:
- razionali intere o polinomiali;
- razionali fratte;
- irrazionali.
Le funzioni trascendenti si distinguono in;
- trigonometriche;
- logaritmiche;
- esponenziali.
Proprietà delle funzioni
Si dicono iniettive le funzioni nelle quali ogni elemento y dell’insieme B di arrivo è l’immagine di un solo o di nessun elemento x dell’insieme A di partenza.
Si dicono suriettive le funzioni nelle quali ogni elemento y dell’insieme di arrivo B è l’immagine di un solo o di più di un elemento x dell’insieme A di partenza.
Si dicono biiettive le funzioni che sono sia iniettive che suriettive, ossia quelle funzioni nelle quali ogni elemento y dell’insieme di arrivo B è l’immagine di uno ed un solo elemento x dell’insieme A di partenza.
Questo tipo di applicazione da A a B viene anche detta corrispondenza biunivoca.
Diremo che A e B sono in corrispondenza biunivoca se è possibile associare i loro elementi in modo tale che:
- ad ogni elemento di uno dei due insiemi corrisponda uno ed un solo elemento del secondo;
- ogni elemento del secondo insieme sia il corrispondente di uno ed un solo elemento del primo.
Le funzioni biiettive sono sempre monotone, ossia o strettamente crescenti o strettamente decrescenti.
Per ogni funzione biiettiva potremo definire la sua inversa, in altri termini:
per ogni funzione
y = f(x)
[/math]
definita dall’insieme A all’insieme B e biiettiva, la funzione inversa di f,
f^{-1}
[/math]
, è la funzione biiettiva tale che ogni y in B ha per immagine
x = f^{-1}(y)
[/math]
in A.
Funzione pari e funzione dispari
Fra le funzioni oggetto di studio ve ne sono alcune che godono di particolari proprietà che ne rendono più semplice lo studio, si tratta delle funzioni pari e di quelle dispari.
Data una qualunque funzione y = f(x) definita su un dominio A diremo che è pari se risulta soddisfatta la seguente relazione:
f(x) = f(-x).
[/math]
Diremo che tale funzione è dispari se
f(-x) = -f(x).
[/math]
Si noti che il fatto che una funzione non sia pari non implica che sia dispari e viceversa: una qualunque funzione può essere o pari oppure può essere oppure può non essere pari o dispari.
Facciamo alcuni esempi.
Sia data la funzione:
f(x) = \frac{x^2 + 9}{x^2 - 5}
[/math]
avremo che
f(-x) = \frac{(-x)^2 + 9}{(-x)^2 - 5}
[/math]
ossia
f(-x) = \frac{x^2 + 9}{x^2 - 5}
[/math]
quindi
f(x) = f(-x)
[/math]
per cui la funzione data è pari.
Sia data la funzione:
f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 5}
[/math]
avremo che
f(-x) = \frac{(-x)^3}{x^2 - 5}
[/math]
ossia
f(-x) = \frac{-(x)^3}{x^2 - 5}
[/math]
che diventa
f(-x) = -\frac{(x)^3}{x^2 - 5}
[/math]
quindi
f(-x) = -f(x)
[/math]
per cui la funzione data è pari.
Sia data la funzione
f(x) = \frac{x^3 + 9}{x^2 - 5}
[/math]
si calcola
f(-x) = \frac{(-x)^3 + 9}{x^2 - 5}
[/math]
ossia
f(-x) = \frac{-x^3 + 9}{x^2 - 5}
[/math]
la funzione che abbiamo ottenuto calcolando f(-x) è diversa sia da f(x) sia da –f(x), per cui la funzione di partenza non è né pari né dispari.
La particolarità delle funzioni pari e dispari è la loro simmetria rispetto agli assi cartesiani:
- una funzione pari, f(x) = f(-x), è simmetrica rispetto all’asse y, ossia il suo grafico, è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate di un sistema di riferimento cartesiano, Oxy;
- una funzione dispari, f(-x) = -f(x), è simmetrica rispetto all’origine O del sistema di riferimento cartesiano Oxy, ossia il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine O.
Esempio: funzione irrazionale
Analizziamo un banale esempio di funzione dispari ed uno di funzione pari.
Sia data la funzione
f(x) = \sqrt[3]{2x} - \sqrt[5]{x}
[/math]
il campo di esistenza di tale funzione è dato dall’intero insieme dei numeri reali, in quanto le due radici di indice dispari non richiedono alcuna condizione di esistenza restrittiva.
Si calcoli f(-x):
f(-x) = \sqrt[3]{2(-x)} - \sqrt[5]{-x}
[/math]
ossia
f(-x) = \sqrt[3]{-2x} - \sqrt[5]{-x}
[/math]
ossia
f(-x) = \sqrt[3]{(-1)(2x)} - \sqrt[5]{(-1)(x)}
[/math]
quindi
f(-x) = -\sqrt[3]{2x} - (-1) \sqrt[5]{-x}
[/math]
da cui
f(-x) = -\sqrt[3]{2x} + \sqrt[5]{x}
[/math]
per cui si vede che
-\sqrt[3]{2x} + \sqrt[5]{x} = - f(x)
[/math]
ossia
f(-x) = -f(x)
[/math]
per cui la funzione
f(x) = \sqrt[3]{2x} - \sqrt[5]{x}
[/math]
è dispari ed il suo grafico, come si può vedere dall’immagine, è simmetrico rispetto all’asse delle y.
Sia data ora la funzione
f(x) = 3 x^2
[/math]
la quale rappresenta una parabola ad asse verticale con vertice nell’origine del sistema di riferimento cartesiano.
Si calcoli f(-x):
f(-x) = 3 (-x)^2
[/math]
si ottiene che
f(-x) = 3 x^2
[/math]
ossia
f(-x) = f(x)
quindi la funzione è pari ed è noto che il grafico di una parabola ad asse verticale con il vertice nell’origine degli assi cartesiani sia simmetrica rispetto all’asse y.
Un semplice esempio di funzione che non sia né pari né dispari è costituito da una comunissima retta la cui equazione costituisce una funzione lineare.
Sia data ad esempio la retta:
f(x) = 3x – 5
[/math]
Se calcoliamo f(-x) otteniamo
f(-x) = 3(-x) – 5
[/math]
ossia
f(-x) = -3x – 5
[/math]
che è diversa sia da f(x) che da –f(x), per cui la funzione data che rappresenta una retta, non è né pari né dispari.
Se si disegna il grafico di questa retta si nota subito che non gode di alcuna simmetria sia rispetto agli assi cartesiani che rispetto all’origine di tali assi.
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