Operazioni con le frazioni algebriche

In questo appunto verranno descritti nel migliore dei modi le operazioni matematiche che normalmente vengono effettuate durante la risoluzione di esercizi con frazioni algebriche.

Operazioni con le frazioni algebriche

Quando si hanno delle frazioni algebriche è bene saperle semplificare, così da renderle più semplici ma equivalenti.
Per semplificare una frazione algebrica bisogna seguire 3 semplici punti:

• Fattorizzare il numeratore e il denominatore: questo è il primo step da seguire quando si è in presenza di frazioni che presentano sia un denominatore che un numeratore, del tipo:
  [math]\frac{N(x)}{D(x)}[/math]

  dove

  [math]N(x)[/math]
  e
  [math]D(x)[/math]
  sono rispettivamente il numeratore e il denominatore della frazione considerata.

  Se per esempio si prende la seguente frazione algebrica riportata di seguito:

  [math]\frac{x^5-3x^4}{x^4-9x^2}[/math]

  In questo caso è necessario iniziare a fattorizzare i polinomi usando le regole di fattorizzazione dei polinomi.

  In questo caso si procede attraverso l'utilizzo della tecnica del raccoglimento totale. Si osserva di seguito il raccoglimento totale effettuato:
  [math]\frac{x^5-3x^4}{x^4-9x^2}=\frac{x^4(x-3)}{x^2(x^2-9)}=\frac{x^4(x-3)}{x^2(x+3)(x-3)}[/math]
• Determinare le condizioni di esistenza: questo step è fondamentale perché quando si trattano frazioni algebriche queste sono delle vere e proprio funzioni, e in quanto tali è necessario andare a definire il campo di esistenza delle stesse.
  Iniziamo pertanto a definire che cosa si intenda proprio per condizione di esistenza: si chiama condizione di esistenza di una frazione algebrica l'insieme dei valori reali per i quali è e non risulta definita.
  Consideriamo ora il caso della frazione algebrica precedente scritta qui sopra scritta, andiamo a definire la condizione di esistenza (con l'acronimo CE) della seguente frazione algebrica:
  [math]CE: x\ne\pm 3 \land x\ne 0[/math]
• Semplificare i fattori: questo è lo step finale da seguire, essenziale per andare quindi a semplificare il più possibile la frazione algebrica.

Semplificazione della frazione fattorizzata

A questo punto si può passare a semplificare la frazione fattorizzata. Per semplificare ci sono alcune regole, le quali sono riportate qui di seguito:

• Tra due incognite le quali possiedono le base uguale ed esponenti diversi, quella con l'esponente minore si elimina e quella con l'esponente maggiore cambia l'esponente facendo: esponente maggiore - esponente minore. Questa è una semplice regola delle potenze, relativamente al rapporto tra due potenze che possiedono due basi uguali (la base in questo caso potrebbe includere l'incognita x). Se invece si ha un prodotto tra due basi uguali, allora sarà necessario sommare gli esponenti delle basi come: esponente maggiore + esponente minore.
• Quando si hanno delle parentesi uguali sia al numeratore che al denominatore si elidono entrambe. Quando si parla di aprenti uguali si intende che l'argomento delle parentesi debba risultare anche il medesimo, facendo così una semplificazione importante.
  Procediamo a semplificare la frazione algebrica presa come esempio precedentemente, riportando qui di seguito:
  [math]\frac{x^5-3x^4}{x^4-9x^2}=\frac{x^4(x-3)}{x^2(x^2-9)}=\frac{x^4(x-3)}{x^2(x+3)(x-3)}=\frac{x^2}{x+3}[/math]

Riduzione di frazioni allo stesso denominatore

Un altro passaggio molto utile quando si hanno delle frazioni algebriche per sapere come proseguire quando bisogna eseguire delle operazioni è la riduzione di frazioni allo stesso denominatore. Anche questa operazione si basa su vari punti.
Per questa operazione prenderemo come esempio queste 3 frazioni algebriche, riportate qui di seguito:

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Gli step da seguire sono differenti. Si procede innanzitutto andando a fattorizzare le frazioni algebriche considerate.
In questo caso si fattorizzano soltanto i denominatori, così come segue:

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Lo step successivo è quello di andare a determinare il minimo comune multiplo (il cui acronimo sarà mcm) tra i denominatori presenti all'interno della frazione algebrica. In questo caso precedentemente riportato allora avremo:

Lo step finale sarà poi quello di andare a sostituire il mcm ai denominatori ed eseguire la seguente operazione, ovvero quella di andare a dividere il mcm con il denominatore delle frazioni fattorizzate e moltiplicare il risultato per il denominatore. Il risultato va inserito nel denominatore. Continuando a considerare la frazione algebrica precedente, in questo proseguiamo così come segue:

Le ultime 2 operazioni, ovvero quelle che risultano essere più importanti per risolvere alcune espressioni, sono l'addizione e la sottrazione di frazioni algebriche. Come nelle altre operazioni ci basiamo su vari punti da seguire.
Per queste operazioni usiamo la seguente addizione. Il procedimento è uguale anche per le sottrazioni, faremo un esempio successivamente.

• Fattorizzare i denominatori. Proseguiamo con il fattorizzare i denominatori usando le regole di fattorizzazione, esattamente così come segue nell'esempio riportato:
  [math]\frac{1}{a}+\frac{1}{a(a+1)}[/math]
• Determinare le condizioni di esistenza della frazione algebrica. Seguendo le indicazioni scritte nel paragrafo della semplificazione determiniamo le condizioni di esistenza per l'esempio riportato saranno proprio le seguenti:
  [math]CE: a\ne0\land a\ne1[/math]
  .
  
• Determinare il minimo comune multiplo fra i denominatori.

  Troviamo il minimo comune multiplo tra i denominatori:

  [math]mcm=a(a-1)[/math]
  .
  d)ridurre le frazioni allo stesso denominatore seguendo il punto c dell'operazione precedente:
  [math]\frac{a-1}{a(a-1)}+\frac{1}{a(a+1)}[/math]
• Eseguire i calcoli al numeratore. A questo punto basta portare tutto al numeratore mantenendo lo stesso denominatore ed eseguire i calcoli, riportanti nell'esempio precedente come segue:
  [math]\frac{a-1+1}{a(a-1)}=\frac{a}{a(a-1)}[/math]
• Eventualmente semplificare In questo caso si possono semplificare le a come segue riportato:
  [math]\frac{a}{a(a-1)}=\frac{1}{a-1}[/math]

Ora prendiamo in considerazione una sottrazione ed eseguiamo i calcoli. Premetto che non spiegherò più passaggio per passaggio ma segnerò solo i numeri affianco ad ogni passaggio; vi basterà consultare la guida scritta qui sopra.

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a)

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b)

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c)

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d)

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e)

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Eventuale passaggio per compattare il risultato: