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Operazioni con le frazioni algebriche


Quando si hanno delle frazioni algebriche è bene saperle semplificare, così da renderle più semplici ma equivalenti.
Per semplificare una frazione algebrica bisogna seguire 3 semplici punti:
a) fattorizzare il numeratore e il denominatore
Se per esempio si prende la frazione algebrica
[math]\frac{x^5-3x^4}{x^4-9x^2}[/math]
bisogna iniziare a fattorizzare i polinomi usando le regole di fattorizzazione dei polinomi. In questo caso si procede con un raccoglimento totale:
[math]\frac{x^5-3x^4}{x^4-9x^2}=\frac{x^4(x-3)}{x^2(x^2-9)}=\frac{x^4(x-3)}{x^2(x+3)(x-3)}[/math]
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b) determinare le condizioni di esistenza
Iniziamo a definire cos'è la CE: si chiama condizione di esistenza di una FA l'insieme dei valori reali per i quali non è definita.
Nel caso della frazione algebrica qui sopra scritta
[math]CE: x\ne\pm 3 \land x\ne 0[/math]
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c) semplificare i fattori
A questo punto si può passare a semplificare la frazione fattorizzata. Per semplificare ci sono alcune regole
1)Tra due incognite con base uguale ed esponenti diversi quella con l'esponente minore si elimina e quella con l'esponente maggiore cambia l'esponente facendo: esponente maggiore - esponente minore
2)Quando si hanno delle parentesi uguali sia al numeratore che al denominatore si elidono entrambe
Procediamo a semplificare la FA presa come esempio:
[math]\frac{x^5-3x^4}{x^4-9x^2}=\frac{x^4(x-3)}{x^2(x^2-9)}=\frac{x^4(x-3)}{x^2(x+3)(x-3)}=\frac{x^2}{x+3}[/math]
.
.
Un altro passaggio molto utile quando si hanno delle frazioni algebriche per sapere come proseguire quando bisogna eseguire delle operazioni è la riduzione di frazioni allo stesso denominatore. Anche questa operazione si basa su vari punti.
Per questa operazione prenderemo come esempio queste 3 FA:
[math]\frac{1}{a^2-a}; \frac{1}{a^3+a^2}; \frac{1}{a}[/math]
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a)fattorizzare le frazioni
In questo caso si fattorizzano soltanto i denominatori:
[math]\frac{1}{a(a-1)}; \frac{1}{a^2(a+1)}; \frac{1}{a}[/math]
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b)determinare il minimo comune multiplo (mcm) tra i denominatori
In questo caso:
[math]mcm=a^2(a+1)(a-1)[/math]
c)sostituire il mcm ai denominatori ed eseguire la seguente operazione: dividere il mcm con il denominatore delle frazioni fattorizzate e moltiplicare il risultato per il denominatore. Il risultato va inserito nel denominatore
In questo proseguiamo così:
[math]\frac{a(a+1)}{a^2(a+1)(a-1)}; \frac{a-1}{a^2(a+1)(a-1)}; \frac{a(a+1)(a-1)}{a^2(a+1)(a-1)}[/math]
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Le ultime 2 operazioni, ovvero quelle più importanti per risolvere alcune espressioni, sono l'addizione e la sottrazione di frazioni algebriche. Come nelle altre operazioni ci basiamo su vari punti da seguire.
Per queste operazioni usiamo la seguente addizione. Il procedimento è uguale anche per le sottrazioni, faremo un esempio successivamente.
a)fattorizzare i denominatori
Proseguiamo con il fattorizzare i denominatori usando le regole di fattorizzazione.
[math]\frac{1}{a}+\frac{1}{a(a+1)}[/math]
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b)determinare le CE
Seguendo le indicazioni scritte nel paragrafo della semplificazione determiniamo le CE.
[math]CE: a\ne0\land a\ne1[/math]
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c)determinare il mcm fra i denominatori
Troviamo il minimo comune multiplo tra i denominatori:
[math]mcm=a(a-1)[/math]
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d)ridurre le frazioni allo stesso denominatore seguendo il punto c dell'operazione precedente:
[math]\frac{a-1}{a(a-1)}+\frac{1}{a(a+1)}[/math]
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e)eseguire i calcoli al numeratore
A questo punto basta portare tutto al numeratore mantenendo lo stesso denominatore ed eseguire i calcoli:
[math]\frac{a-1+1}{a(a-1)}=\frac{a}{a(a-1)}[/math]
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f)eventualmente semplificare
In questo caso si possono semplificare le a:
[math]\frac{a}{a(a-1)}=\frac{1}{a-1}[/math]
.
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Ora prendiamo in considerazione una sottrazione ed eseguiamo i calcoli. Premetto che non spiegherò più passaggio per passaggio ma segnerò solo i numerini affianco ad ogni passaggio; vi basterà consultare la guida scritta qui sopra.
[math]\frac{1}{x^2-2x}-\frac{1}{x^2+2x}[/math]
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a)
[math]\frac{1}{x(x-2)}-\frac{1}{x(x+2)}[/math]
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b)
[math]CE: x\ne0\land x\ne\pm2[/math]
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c)
[math]mcm= x(x+2)(x-2)[/math]
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d)
[math]\frac{x+2}{x(x+2)(x-2)}-\frac{x-2}{x(x+2)(x-2)}[/math]
.
e)
[math]\frac{x+2-x+2}{x(x+2)(x-2)}=\frac{4}{x(x+2)(x-2)}[/math]
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Eventuale passaggio per compattare il risultato:
[math]\frac{4}{x(x^2-4)}[/math]
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