Concetti Chiave
- Il lavoro in fisica è definito come il prodotto dell'intensità della forza e il modulo dello spostamento nella direzione della forza, espresso in joule nel Sistema Internazionale.
- Il lavoro compiuto da una forza può essere positivo, negativo o nullo, a seconda della direzione della forza rispetto allo spostamento.
- Il lavoro può essere calcolato come prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore spostamento, semplificando il calcolo attraverso le componenti cartesiane.
- La potenza media è definita come il rapporto tra il lavoro compiuto e l'intervallo di tempo, rappresentando la rapidità con cui viene eseguito il lavoro.
- La potenza istantanea è la derivata del lavoro rispetto al tempo e viene misurata in watt, con il cavallo vapore usato come unità pratica per i motori.
In questo appunto di Fisica si definiscono due grandezze importanti come il lavoro e la potenza e la relazione che le lega.
Il lavoro
Il concetto di lavoro in Fisica è strettamente legato ad altre due grandezze fisiche ed esattamente le forze e gli spostamenti.
La condizione che accomuna gli eventi fisici in cui si ha lavoro è quella in cui viene applicata la forza ad un oggetto che si sposta nella direzione della forza: maggiore è la forza, maggiore sarà lo spostamento ottenuto nella direzione della forza e conseguentemente maggiore è il lavoro impiegato.
Ad esempio se dobbiamo spostare una data massa da un punto A ad un punto B, si applica una data forza F (parallela al pavimento e quindi allo spostamento) che compie il lavoro
L_{AB}
[/math]
; se raddoppiamo lo spostamento
2\bar{AB}
[/math]
raddoppia il lavoro necessario per spostare la solita massa; analogo risultato se raddoppiamo la forza F.
In Fisica si dice che una forza compie un dato lavoro.
Cerchiamo di dare una definizione quantitativa di lavoro: chiameremo lavoro della forza
\overrightarrow{F}
[/math]
il prodotto dell’intensità della forza F per il modulo S dello spostamento e scriveremo:
L = F S
[/math]
la cui equazione dimensionale è data da
[L] = [F S] = [m l^2 t^{-2}]
[/math]
tale unità di misura prende il nome di joule (simbolo J) nel Sistema Internazionale, SI, e si ha che
1 J = 1N 1m.
[/math]
Il lavoro di un joule è quello compiuto da una forza costante di un newton quando il punto di applicazione della forza subisce nella sua stessa direzione lo spostamento di un metro.
Fissato un sistema di riferimento costituito dall’asse delle ascisse x, consideriamo un carrello che si muove con velocità costante
\overrightarrow{v}
[/math]
concorde con l’asse delle ascisse e supponiamo di applicargli una forza
\overrightarrow{F}
[/math]
uguale e contraria (costante).
In questo caso la forza
\overrightarrow{F}
[/math]
tende ad arrestare il moto del carrello ed il lavoro che compie è dato da:
L = - F S.
[/math]
La forza
\overrightarrow{F}
[/math]
ostacola il movimento del carrello, la cui velocità si annulla dopo un certo spostamento: quando la forza è contraria al verso dello spostamento il lavoro viene considerato negativo. Nei due casi precedentemente esposti la forza
\overrightarrow{F}
[/math]
è sempre stata considerata parallela allo spostamento provocato: compiendo un lavoro positivo se di verso concorde allo spostamento, negativo se con verso contrario.
Consideriamo adesso il caso in cui la forza applicata
\overrightarrow{F}
[/math]
abbia una direzione qualunque rispetto allo spostamento: supponiamo che l’angolo fra il vettore
\overrightarrow{F}
[/math]
e lo spostamento
\overrightarrow{S}
[/math]
sia
\varphi.
[/math]
Definiamo lavoro della forza
\overrightarrow{F}
[/math]
il prodotto della componente
F_x
[/math]
di
\overrightarrow{F}
[/math]
secondo lo spostamento (asse x precedentemente fissato) per il modulo dello spostamento, ossia:
L = F_x S.
[/math]
In cui avremo che:
- F_x è positiva se \varphi è acuto;
- F_x sarà negativa se \varphi è ottuso.
Nel caso in cui
F_x
[/math]
sia positiva, la forza favorisce lo spostamento ed il lavoro viene considerato positivo e viene detto motore.
Nel caso in cui F_x sia negativa, la forza ostacola lo spostamento ed il lavoro è negativo e viene detto resistente.
Nel caso esposto si è considerata la componente della forza F nella direzione dell’asse x che è quella dello spostamento
\overrightarrow{S}
[/math]
, ma avremmo potuto considerare anche la componente dello spostamento nella direzione della forza
\overrightarrow{F}
[/math]
ed avremmo ottenuto il solito risultato. In altre parole: il lavoro è uguale al prodotto del modulo dello spostamento per la componente
F_x
[/math]
della forza secondo la direzione dello spostamento oppure, in modo del tutto analogo, al prodotto dell’intensità della forza
\overrightarrow{F}
[/math]
per la componente
S_F
[/math]
dello spostamento secondo la direzione della forza.
Solitamente si sceglie la prima opzione.
Essendo
\varphi
[/math]
l’angolo fra la forza
\overrightarrow{F}
[/math]
e lo spostamento
\overrightarrow{S}
[/math]
, si può riscrivere l’espressione del lavoro utilizzando le formule di trigonometria:
F_x = F cos\varphi
[/math]
S_F = S cos\varphi
[/math]
Per cui si ha che:
L = F S cos\varphi.
[/math]
Si noti che se
\overrightarrow{F}
[/math]
è perpendicolare allo spostamento
\overrightarrow{S}
[/math]
, il lavoro è nullo: ossia la forza non compie lavoro.
Risultano nulle
F_x = F cos\varphi = F cos\big(\frac{\pi}{2}\big) = 0
[/math]
S_F = S cos\varphi = S cos\big(\frac{\pi}{2}\big) = 0.
[/math]
Lavoro e prodotto scalare
L’espressione precedentemente data per il lavoro:
L = F S cos\varphi
[/math]
Non è altro che il prodotto scalare fra i due vettori
\overrightarrow{F}
[/math]
e
\overrightarrow{S}.
[/math]
L = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S} = F S cos\varphi
[/math]
Il lavoro compiuto da una forza è dato dal prodotto scalare della forza per lo spostamento.
In particolare il calcolo del lavoro è facilmente eseguibile se si conoscono le componenti
(F_x, F_y)
[/math]
e
(S_x, S_y)
[/math]
dello spostamento rispetto ad un sistema cartesiano fissato nel piano della forza e dello spostamento. Ricordando l’espressione cartesiana di un vettore si ha che:
L = (F_x \overrightarrow{i} + F_y \overrightarrow{j}) \cdot (S_x \overrightarrow{i} + S_y \overrightarrow{j})
[/math]
dove
\overrightarrow{i}
[/math]
è il versore dell’asse x;
\overrightarrow{j}
[/math]
è il versore dell’asse y.
Ricordando che
\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i} = 1
[/math]
\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{j} = 1
[/math]
\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} = 0
[/math]
poiché il prodotto scalare gode della proprietà distributiva, si ottiene:
L = F_x S_x + F_y S_y
[/math]
ossia il lavoro di una forza è uguale alla somma dei prodotti delle componenti omonime della forza e dello spostamento.
La potenza media e potenza istantanea
Una grandezza fisica indice di quanto lavoro può compiere una forza nel tempo è la potenza.
Definiamo potenza media,
P_m
[/math]
, in un intervallo di tempo t, il rapporto tra il lavoro L compiuto da una o più forze durante il tempo t e l’intervallo stesso di tempo:
P_m = \frac{\Delta L}{\Delta t}.
[/math]
Questa grandezza rappresenta la rapidità con cui viene compiuto un dato lavoro.
Se consideriamo
\Delta L = F_x \Delta s
[/math]
ossia se scomponiamo il lavoro come il prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento e lo spostamento stesso si ottiene che:
P = F_x \frac{\Delta s}{\Delta t}
[/math]
ed essendo
{\Delta s}{\Delta t} = v
[/math]
si ottiene che
P = F_x v.
[/math]
In maniera analitica si ha che
Se
P = \frac{dL}{dt}
[/math]
allora
P = \frac{\textbf{F} \cdot d\textbf{r}}{dt} = \frac{F \cos{(\phi)}dr}{dt} = F \cos{(\phi)} \frac{dr}{dt} = Fv \cos{(\phi)} = \textbf{F} \cdot \textbf{v}
[/math]
Quanto scritto precedentemente può essere chiarito con un semplice esempio. Se vogliamo mantenere in moto un’automobile ad una data velocità, essendoci delle forze di attrito di vario genere (asfalto e resistenza dell’aria), il motore deve sviluppare una forza motrice
F_x
[/math]
nella direzione del movimento opposta alla forza di attrito; la potenza fornita dal motore, in base alla precedente espressione, risulta uguale al prodotto della forza di attrito per la velocità dell’automobile.
La potenza istantanea,
P_i
[/math]
, indica la rapidità con la quale il lavoro è svolto in un preciso istante e corrisponde, algebricamente, alla derivata del lavoro rispetto al tempo.
P_i = \lim_{∆t \to 0} P_m = \lim_{∆t \to 0} \frac{L}{∆t} = \frac{dL}{dt}.
[/math]
L’equazione dimensionale della potenza, essendo questa un rapporto tra lavoro e tempo, risulta:
= [L t^{-1}] = m l^2 t{-3}
[/math]
e l’unità di misura nel Sistema Internazionale (SI) è data da:
Watt (W) = \frac{J}{s}.
[/math]
Il watt è stato introdotto in onore di James Watt (1736 – 1819) costruttore delle prime macchine a vapore. L’unità pratica usata molto spesso per misurare la potenza di un motore è il cavallo vapore, indicato con CV o HP e definito come la potenza di un motore capace di sollevare in un secondo una massa di 75Kg all’altezza di 1m.
per ulteriori approfondimenti su potenza e rendimento vedi anche qua
Domande da interrogazione
- Qual è la definizione di lavoro in Fisica?
- Come si calcola il lavoro quando la forza non è parallela allo spostamento?
- Che cos'è il prodotto scalare e come si relaziona al lavoro?
- Come si definisce la potenza media e come si calcola?
- Qual è la differenza tra potenza media e potenza istantanea?
In Fisica, il lavoro è definito come il prodotto dell'intensità della forza applicata su un oggetto per il modulo dello spostamento nella direzione della forza. L'unità di misura del lavoro nel Sistema Internazionale è il joule (J).
Quando la forza non è parallela allo spostamento, il lavoro si calcola come il prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento per il modulo dello spostamento, ossia \( L = F S \cos\varphi \), dove \(\varphi\) è l'angolo tra la forza e lo spostamento.
Il prodotto scalare è un'operazione tra due vettori che restituisce un valore scalare. Nel contesto del lavoro, il lavoro compiuto da una forza è dato dal prodotto scalare della forza per lo spostamento, espresso come \( L = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{S} = F S \cos\varphi \).
La potenza media è definita come il rapporto tra il lavoro compiuto da una forza e l'intervallo di tempo in cui è stato compiuto. Si calcola come \( P_m = \frac{\Delta L}{\Delta t} \).
La potenza media è il rapporto tra il lavoro totale compiuto e l'intervallo di tempo, mentre la potenza istantanea è la rapidità con cui il lavoro è svolto in un preciso istante, calcolata come la derivata del lavoro rispetto al tempo, \( P_i = \frac{dL}{dt} \).
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