Definizione
Si definisce simmetria rispetto ad una retta[math]r[/math]
l'affinità [math]S_r[/math]
che lascia uniti i punti [math]P[/math]
che appartengono ad [math]r[/math]
e che trasforma ogni punto [math]P[/math]
non appartenente ad [math]r[/math]
nel punto [math]P'[/math]
tale che [math]r[/math]
sia l'asse del segmento [math]PP'[/math]
. 
Consideriamo due punti del piano
[math]P[/math]
e [math]Q[/math]
e una retta [math]r[/math]
; i punti [math]P'[/math]
e [math]Q'[/math]
sono ottenuti da [math]P[/math]
e [math]Q[/math]
tramite una simmetria rispetto alla retta [math]r[/math]
. I triangoli che si formano [math]PHQ[/math]
e [math]P'H'Q'[/math]
sono congruenti, e pertanto hanno i cateti uguali; in particolare, abbiamo che [math]PQ = P'Q'[/math]
.Possiamo quindi affermare che la simmetria assiale è una isometria, in quanto trasformazione in cui si conservano le distanze. Inoltre, possiamo affermare che tutti i punti che appartengono alla retta
[math]r[/math]
sono punti uniti, cioè vengono mandati in se stessi dalla trasformazione; e anche tutti i punti che appartengono a rette perpendicolari alla retta [math]r[/math]
sono uniti; di conseguenza, sono unite tutte le rette perpendicolari a [math]r[/math]
. Così come nel caso della simmetria centrale, anche per la simmetria assiale si ha che: [math]S_r^{-1} = S_r \Rightarrow S_r * S_r = I[/math]
Formule analitiche
Vediamo ora alcune formule che ci permettono di determinare la posizione dei punti nel piano cartesiano, che si ottengono tramite simmetria assiale. Distinguiamo alcuni casi, in base alla posizione della retta[math]r[/math]
, asse di simmetria. - simmetria rispetto alla retta [math]r[/math]parallela all'asse[math]x[/math]:[math]r: y = y_0[/math]
In questo caso, il punto [math]P[/math]
e il suo trasformato [math]P'[/math]
hanno uguale ascissa; l'equazione della trasformazione è la seguente: [math]S_r: \begin{cases} x' = x \ y' = -y + 2y_0 \end{cases}[/math]
La matrice dei coefficienti è la matrice [math]A[/math]
, di determinante uguale a [math]-1[/math]
: [math]A = \begin{pmatrix} 1&0 \ 0&-1 \end{pmatrix} , \text{det}(A) = -1[/math]
- simmetria rispetto alla retta [math]r[/math]parallela all'asse[math]y[/math]:[math]r: x= x_0[/math]
[math]P[/math]
e il suo trasformato [math]P'[/math]
hanno uguale ordinata; 
l'equazione della trasformazione è la seguente: [math]S_r: \begin{cases} x'=-x+2x_0 \ y' = y \end{cases}[/math]
La matrice dei coefficienti è la matrice [math]A[/math]
, di determinante uguale a [math]-1[/math]
: [math]A = \begin{pmatrix} -1&0 \ 0&1 \end{pmatrix} , \text{det}(A) = -1[/math]
- simmetria rispetto alla retta [math]r[/math]obliqua
[math]P[/math]
e [math]P'[/math]
, di coordinate rispettivamente [math](x; y)[/math]
e [math](x'; y')[/math]
, sono punti corrispondenti, simmetrici rispetto alla retta [math]r[/math]
di equazione [math]y = mx + q[/math]
, la trasformazione è espressa dalle seguenti equazioni: [math]S_r: \begin{cases} x'=\frac{1}{1+m^2} \cdot [(1-m^2)x+2my-2mq] \ y'=\frac{1}{1+m^2} \cdot [2mx+(m^2-1)y+2q] \end{cases}[/math]
Anche in questo caso, la matrice associata [math]A[/math]
ha determinante uguale a [math]-1[/math]
: [math]A= \begin{pmatrix} \frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2} \ \frac{2m}{1+m^2}&\frac{m^2-1}{1+m^2} \end{pmatrix} , \text{det}(A) = -1[/math]
In particolare, nel caso in cui [math]r[/math]
sia la bisettrice del 1° e del 3° quadrante, il coefficiente angolare [math]m[/math]
è uguale a [math]1[/math]
, e [math]q[/math]
risulta uguale a zero. Quindi, sostituendo questi valori alle equazioni viste in precedenza, abbiamo che: [math]x' = y[/math]
e [math]y' = x[/math]
Se invece la retta in questione è bisettrice del 2° e del 4° quadrante, il suo coefficiente angolare [math]m[/math]
è [math]-1[/math]
, e si ha [math]q = 0[/math]
, quindi, sostituendo abbiamo: [math]x' = -y[/math]
e [math]y' = -x[/math]
Composizione di due simmetrie assiali
Consideriamo due simmetrie assiali rispetto alle rette[math]r[/math]
ed [math]s[/math]
; considerando la loro composizione, distinguiamo due casi, in cui le rette [math]r[/math]
ed [math]s[/math]
sono parallele o incidenti. - rette [math]r[/math]ed[math]s[/math]parallele
In questo caso, se [math]A[/math]
è un punto di [math]r[/math]
e [math]B[/math]
è un punto di [math]s[/math]
, con [math]AB \perp r[/math]
, la composizione di simmetrie equivale ad una traslazione di vettore [math]2\vec{AB}[/math]
: [math]\tau = S_s * S_r = 2\vec{AB}[/math]
In questo caso, la trasformazione non gode della proprietà commutativa; infatti, la trasformazione inversa risulta essere: [math]\tau^{-1} = S_r * S_s = 2\vec{BA} = -2\vec{AB}[/math]
- rette [math]r[/math]ed[math]s[/math]incidenti
[math]C[/math]
, esse formano tra loro un angolo [math]\alpha[/math]
; possiamo allora affermare che la composizione delle simmetrie assiali rispetto alle due rette equivale alla rotazione di centro [math]C[/math]
e angolo [math]2\alpha[/math]
: 
[math]\rho_{C,2\alpha} = S_s * S_r[/math]
In particolare, se le rette sono incidenti e formano un angolo di [math]90^\circ[/math]
, cioè se le rette sono perpendicolari, allora la composizione delle simmetrie rispetto a tali rette è una rotazione di [math]180^\circ[/math]
rispetto al loro punto di intersezione; è pertanto, una simmetria rispetto a tale punto.
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