La simmetria assiale

Definizione

Si definisce simmetria rispetto ad una retta

l'affinità

che lascia uniti i punti P che appartengono ad

e che trasforma ogni punto P non appartenente ad

; i punti P' e Q' sono ottenuti da P e Q tramite una simmetria rispetto alla retta

.

I triangoli che si formano PHQ e P'H'Q' sono congruenti, e pertanto hanno i cateti uguali; in particolare, abbiamo che PQ = P'Q'. Possiamo quindi affermare che la simmetria assiale è una isometria, in quanto trasformazione in cui si conservano le distanze. Inoltre, possiamo affermare che tutti i punti che appartengono alla retta

sono punti uniti, cioè vendono mandati in se stessi dalla trasformazione; e anche tutti i punti che appartengono a rette perpendicolari alla retta r sono uniti; di conseguenza, sono unite tutte le rette perpendicolari a

. Così come nel caso della simmetria centrale, anche per la simmetria assiale si ha che: [ S_r^{-1} = S_r Rightarrow S_r ast S_r = I ]

Formule analitiche

Vediamo ora alcune formule che ci permettono di determinare la posizione dei punti nel piano cartesiano, che si ottengono tramite simmetria assiale. Distinguiamo alcuni casi, in base alla posizione della retta

, asse di simmetria.

• simmetria rispetto alla retta r parallela all'asse x: [ r: y = y_0 ]

In questo caso, il punto P e il suo trasformato P' hanno uguale ascissa; l'equazione della trasformazione è la seguente: [ S_r: \begin{cases} x' = x \ y' = -y + 2y_0 end{cases} ] La matrice dei coefficienti è la matrice A, di determinante uguale a -1: [ A = \begin{pmatrix} 1&0 \ 0&-1 end{pmatrix} ,,,, , ,,,, mbox{det}(A) = -1 ]

• simmetria rispetto alla retta
  [math]r[/math]
  parallela all'asse
  [math]y[/math]
  : [ r: x= x_0 ]

In questo caso, il punto P e il suo trasformato P' hanno uguale ordinata; l'equazione della trasformazione è la seguente: [ S_r: \begin{cases} x'=-x+2x_0 \ y' = y end{cases} ] La matrice dei coefficienti è la matrice A, di determinante uguale a -1: [ A = \begin{pmatrix} -1&0 \ 0&1 end{pmatrix} ,,,, , ,,,, mbox{det}(A) = -1 ]

• simmetria rispetto alla retta
  [math]r[/math]
  obliqua

Se P e P', di coordinate rispettivamente

e

, sono punti corrispondenti, simmetrici rispetto alla retta

di equazione

, la trasformazione è espressa dalle seguenti equazioni: [ S_r: \begin{cases} x'=frac{1}{1+m^2} cdot Big[(1-m^2)x+2my-2mq Big] \ y'=frac{1}{1+m^2} cdot Big[2mx+(m^2-1)y+2q Big] end{cases} ] Anche in questo caso, la matrice associata

ha determinante uguale a

: [ A= \begin{pmatrix} frac{1-m^2}{1+m^2}&frac{2m}{1+m^2} \ frac{2m}{1+m^2}&frac{m^2-1}{1+m^2} end{pmatrix} ,,,, , ,,,, mbox{det}(A) = -1 ] In particolare, nel caso in cui

sia la bisettrice del 1° e del 3° quadrante, il coefficiente angolare

è uguale a 1, e

risulta uguale a zero. Quindi, sostituendo questi valori alle equazioni viste in precedenza, abbiamo che: [ x' = y ,,,, mbox{e} ,,,, y' = x ] Se invece la retta in questione è bisettrice del 2° e del 4° quadrante, il suo coefficiente angolare

è -1, e si ha

, quindi, sostituendo abbiamo: [ x' = -y ,,,, mbox{e} ,,,, y' = -x ]

Composizione di due simmetrie assiali

Consideriamo due simmetrie assiali rispetto alle rette

ed

; considerando la loro composizione, distinguiamo due casi, in cui le rette

ed

sono parallele o incidenti.

• rette
  [math]r[/math]
  ed
  [math]s[/math]
  parallele

In questo caso, se

è un punto di

e

è un punto di

, con (AB perp r), la composizione di simmetrie equivale ad una traslazione di vettore

: [ \tau = S_s ast S_r = 2 vec{AB} ] In questo caso, la trasformazione non gode della proprietà commutativa; infatti, la trasformazione inversa risulta essere: [ \tau^{-1} = S_r ast S_s = 2 vec{BA} = -2 vec{AB} ]

• rette r ed s incidenti

In questo caso, se le rette sono incidenti e si incontrano in un punto

, esse formano tra loro un angolo (alpha); possiamo allora affermare che la composizione delle simmetrie assiali rispetto alle due rette equivale alla rotazione di centro

e angolo (2alpha): [ \rho_{C,2alpha} = S_S ast S_r ] In particolare, le se rette sono incidenti e formano un angolo di 90°, cioè se le rette sono perpendicolari, allora la composizione delle simmetrie rispetto a tali rette è una rotazione di 180° rispetto al loro punto di intersezione; è pertanto, una simmetria rispetto a tale punto.