Insiemi-Proprietà

Gli insiemi

appunti di A. Mele

Cos’è:

L’insieme è un concetto primitivo, cioè non è definibile mediante altri concetti più semplici

e non è riconducibile ad altri concetti definiti in precedenza, ed indica un raggruppamento

di elementi.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole (A, B, C… ) e gli elementi con le lettere

minuscole (a, b, c).

Appartenenza

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme X, si usa il simbolo di

.

appartenenza, cioè: xX e mai viceversa. Il simbolo di non appartenenza è

Ci sono tre modi per rappresentare gli insiemi:

 Con i diagrammi di Eulero- Venn, che è una rappresentazione geometrica.

 La rappresentazione estensiva, che consiste nell’elencazione di tutti gli elementi

delimitati da parentesi graffe. A={x;y;w;k}

 La rappresentazione intensiva, quando si enuncia una caratteristica degli elementi.

A={x|x è una lettera latina che non appartiene all’alfabeto italiano}

Uguaglianza

Se due insiemi sono uguali, si ricorre al simbolo di uguaglianza =. L’uguaglianza gode

anche di 3 proprietà:

1. prop. Riflessiva: ogni insieme è uguale a se stesso:

A=A

2. prop. Simmetrica: se un insieme A è uguale ad un insieme B, B è uguale sempre ad

A. 

A=B B=A

3. prop. Transitiva: se due insiemi A e B sono uguali a C, tutti sono uguali.

A=B, B=C; A=B=C

L’insieme vuoto:

A= {x|x è uno dei vertici di un quadrato con 5 lati}



A={} oppure A={ }

Tutti gli insiemi vuoti coincidono. Se A={} e X={}, A=X

Ambiente o Universo:

L’universo rappresenta la fonte da cui derivano tutti gli elementi. Se si stabilisce:



A={x|x è una lettera che non appartiene all’alfabeto italiano} allora A={y, x, …}.

In questo caso se si volesse trarre una lettera dall’alfabeto inglese che non è in quello

italiano, bisogna indicare che U è la fonte.

Sottoinsiemi:

Se A= B, B è un sottoinsieme di A. Si indica così:

BA oppure AB

Se tutti gli elementi di B sono contenuti anche in A, ma A≠B, si scrive:

BA (B è strettamente contenuto in A)

A A

B B a

a, b, c b, c