Calcolo della probabilità condizionata di eventi dipendenti

In questo appunto di algebra descriviamo la probabilità condizionata tra due eventi dipendenti. Spieghiamo il significato del di questo tipo di probabilità alla quale facciamo spesso affidamento per le nostre scelte in vari ambiti: lavorativo, privato, economico, sociale. Vediamo la definizione di probabilità condizionata, quella di eventi dipendenti e indipendenti e le due formule da utilizzare come sempre un esercizio per applicare rapidamente la teoria.

Calcolo delle probabilità, nelle scelte quotidiane

A volte bisogna prendere decisioni o scegliere determinati comportamenti senza che vi sia certezza del risultato. Per esempio, nell’investire una somma di denaro ci si può affidare al risparmio gestito, al mercato azionario, ai titoli di Stato, ai fondi di investimento, ma non si può sapere prima quale tipo di investimento darà la resa più alta. Nel gioco d’azzardo, come ad esempio la roulette o il Lotto, si punta sul numero che non esce da parecchio tempo o su uno che ci piace di più per qualche motivo, ma non si ha la certezza che quello sarà il numero vincente.
In un’azienda al controllo qualità, si scelgono a campione alcuni pezzi sapendo che una mancanza di difetti fornisce solo un’indicazione sulla bontà del lotto di produzione, non si ha la certezza assoluta che non vi siano pezzi difettosi.
Le decisioni da prendere nei casi come quelli citati, da un lato si basano sulla quantità e qualità delle informazioni che siamo in grado di avere, e dall’altro sulle reali possibilità che hanno alcuni fatti di accadere. Siamo in grado di dare una risposta alle domande che ci poniamo non con certezza ma solo in termini di calcolo della probabilità.
Con la matematica possiamo quantificare attraverso un numero il grado di incertezza di una particolare soluzione di un problema; la possibilità di esprimere con dei numeri la probabilità che si verifichi una certa situazione permette non soltanto una valutazione della fiducia che noi poniamo nel suo verificarsi ma anche un confronto tra situazioni diverse e questo può essere di grande utilità nell’orientare le scelte.

Definizioni di base

Si definisce esperimento aleatorio ogni fenomeno del mondo reale alle cui manifestazioni può essere associata una situazione di incertezza.
Sono esperimenti aleatori:

• il lancio di un dado,
• l’estrazione dei numeri della tombola,
• un sondaggio d’opinione,
• la sperimentazione di un farmaco,
• l’osservazione del comportamento di una specie animale,
• una nuova produzione industriale

Si definisce spazio campionario e viene indicato con il simbolo , l’insieme dei possibili risultati di un esperimento aleatorio. Ad esempio nel lancio di un dado lo spazio campionario è l’insieme costituito da sei elementi che sono i numeri sulle facce del dado:

Un evento aleatorio definisce sempre un sottoinsieme dello spazio campionario

, è una proposizione relativa ad un esperimento aleatorio di cui non si conosce il valore di verità.
Se consideriamo il lancio di un dado come esperimento aleatorio, abbiamo ad esempio i seguenti eventi aleatori: ”esce un numero pari”, “esce un numero dispari”, “esce un numero maggiore di sei”.
Si ha un evento certo quando l’evento definisce l’intero spazio campionario, sia un evento impossibilequando esso definisce l’insieme vuoto; nel lancio di un dado l’evento “esce un numero maggiore di 6”, è impossibile.

Probabilità condizionata

In alcune situazioni la probabilità di un evento può essere modificata se si hanno informazioni aggiuntive. Consideriamo un’urna che contiene 20 palline rosse e 10 palline nere tutte uguali per forma, dimensione e peso in modo da non poterle distinguere una dall’altra. Supponiamo poi che delle 20 rosse 15 siano fatte di vetro e 5 siano di plastica, mentre delle 10 palline nere 2 siano di vetro e 8 di plastica. Adesso immaginiamo che l’estrazione di una pallina avvenga tramite una macchina che dopo averle mescolate, ne sceglie una a caso; questo significa che tutte le palline hanno la stessa probabilità di essere estratte, questa probabilità vale: .
Consideriamo ora gli eventi A e B così definiti:

• A: la pallina estratta è di vetro
• B: la pallina estratta è rossa

La probabilità dell’evento A è calcolabile e vale: .
Supponiamo ora che si sia verificato l’evento B, cioè che dall’urna è stata estratta una pallina rossa e chiediamoci se la probabilità dell’evento A viene ad essere modificata da questa informazione, ovvero se la probabilità dell’evento A è condizionata dal verificarsi dell’evento B. Per indicare una probabilità condizionata usiamo il simbolo:

e leggiamo “probabilità di A dato B”.
L’informazione aggiuntiva modifica la probabilità del primo evento perché i casi possibili ora sono 20 e i casi favorevoli sono 15 quindi:

Essendo

, sapere che si è verificato B ha aumentato la probabilità dell’evento A.
In altre situazioni le informazioni aggiuntive non alterano la probabilità di un evento.
Ad esempio pensiamo al lancio di due dadi in successione e consideriamo i seguenti eventi:

• A: sul primo dado esce il 4
• B: sul secondo dato esce un numero pari

Sapere che l’evento B si è verificato non modifica la probabilità dell’evento A cioè: due eventi non dipendono l’uno dall’altro, in questo caso la probabilità condizionata coincide con la probabilità dell’evento A, definiamo i due eventi indipendenti.

Per ulteriori approfondimenti sulla probabilità condizionata vedi qua

Eventi dipendenti e indipendenti

Considerati due eventi A e B di un medesimo esperimento aleatorio, si dice probabilità condizionata di A rispetto a B, e si indica con il simbolo , la probabilità che si verifichi A supposto di sapere che si è verificato B. Possiamo avere i seguenti due casi:

• se
  [math]p(A|B) \neq p(A)[/math]
  , si dice che A e B sono eventi dipendenti
• se
  [math]p(A|B) = p(A)[/math]
  , si dice che i due eventi sono indipendenti

La probabilità condizionata per due eventi dipendenti è data dal rapporto tra la probabilità dell’evento intersezione e la probabilità dell’evento supposto verificato. Dunque la probabilità condizionata di un evento A rispetto a un evento B (non impossibile) è data dalla seguente relazione:

In modo totalmente simmetrico, la probabilità condizionata di un evento B rispetto ad un evento A (non impossibile) si calcola come:

Per ulteriori approfondimenti sugli eventi indipendenti vedi qua
Per ulteriori approfondimenti sulla teoria delle variabili aleatorie vedi qua

Applicazione numerica sulla probabilità condizionata

Quesito da svolgere
Un'urna contiene due carte, una di esse ha entrambi i lati neri, mentre l'altra ha un lato nero e un lato bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno dei suoi lati, è nero. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia nero?
Indichiamo i due eventi da considerare in seguito all’estrazione della carta:

• A: secondo lato visto nero
• B: primo lato visto nero

Scriviamo la formula della probabilità condizionata:

Calcoliamo la probabilità dell’evento intersezione ovvero che entrambi i lati siano neri. In pratica dobbiamo calcolare la probabilità di estrarre la carta con due lati neri, questo evento è probabile al 50% essendo le carte solo due:

Calcoliamo la probabilità dell’evento B: la probabilità  che il primo lato visto sia nero.
I lati delle carte sono quattro e rappresentano i casi possibili, i casi favorevoli sono 3. Una delle due carte ha entrambi i lati neri quindi ci sono due casi favorevoli e poi il lato nero della seconda carta.
La probabilità dell’evento B è:

Ed ora facciamo il rapporto dei due valori trovati: