Calcolo della probabilità: definizioni principali e formule

In quest'appunto troverai le definizioni principali relative al calcolo della probabilità, ossia lo spazio campionario, la frequenza, la probabilità, gli spazi equiparabili finiti, gli eventi incompatibili, gli eventi dipendenti e parte della probabilità condizionata. Sono inoltre forniti degli esempi commentati per chiarire meglio la teoria.

Perchè è importante il calcolo della probabilità e il concetto di probabilità

Non sempre ad una frase o a una situazione si può rispondere categoricamente in termini di vero o falso.

Allo stesso modo, non tutti gli eventi sono prevedibili con certezza. Anzi, la maggior parte degli eventi sono incerti.

Eppure, nonostante questo, non possiamo fare a meno di elaborare progetti, cercando di immaginare in anticipo le possibilità future. E su tali previsioni basiamo molte nostre decisioni.
Insomma, prima di intraprendere una qualunque decisione, si cerca sempre di valutare il rischio contro il vantaggio facendo, in modo spesso inconsapevole, il calcolo delle probabilità.

Se si lancia in aria una moneta, non è possibile prevedere se uscirà testa o croce: quando un evento non è prevedibile, si dice che esso è affidato al caso.
Allo stesso modo, quando si lancia un dado non è possibile prevedere quale numero uscirà.
Nonostante ciò intuitivamente ci rendiamo conto che l'eventualità che al lancio di una moneta venga testa è molto più probabile che nel lancio di un dado esca un certo numero. Quindi non tutti gli eventi incerti (ovvero imprevedibili) sono probabili nella stessa misura: alcuni lo sono più di altri.

Riuscire ad assegnare dei numeri ai diversi gradi di probabilità ci mette sulla buona strada per la matematizzazione del concetto di "probabile", e pone quindi le basi per quello che viene chiamato il "calcolo delle probabilità".

Ora, quello del calcolo delle probabilità è senza dubbio un argomento complesso, che richiede uno studio molto lungo e l'introduzione di tanti concetti.

In questo appunto si cercherà di fornire una sorta di infarinatura generale, al fine di spiegare il più semplicemente possibile in che cosa consiste questo calcolo. Trattandosi di una "infarinatura", non tratteremo di questioni un po' più complesse come ad esempio il concetto di eventi contrari, probabilità statistica, probabilità soggettiva e la probabilità condizionata che, sebbene importanti ed interessanti, richiederebbero una trattazione specifica a parte.

Definizioni matematiche relative al calcolo della probabilità: lo spazio campionario

Si chiama "spazio campionario" (S) di un esperimento l'insieme di tutti i suoi esiti possibili.

Quindi, nel lancio di una moneta in aria, testa o croce sono due esiti della prova (o esperimento), detti anche punti o campioni. Testa e croce costituiscono invece lo spazio campionario.
Nel lancio di un dado, lo spazio campionario è invece costituto da tutti i numeri che vanno da 1 a 6.

Come definire la frequenza e la probabilità

Lanciamo dunque in aria una moneta. Vogliamo determinare la probabilità che venga fuori testa.
Supponiamo di aver eseguito 10 lanci, e che su questi dieci lanci solo 3 volte si sia ottenuta testa. Quindi 3 è il numero di esiti favorevoli. Le altre 7 volte si è avuto croce. Quindi 7 è il numero degli esiti sfavorevoli.

Diremo quindi che

è la frequenza degli esiti favorevoli.

è invece la frequenza degli esiti sfavorevoli. Si tratta però di una frequenza relativa, non assoluta, relativa al numero dei lanci.

Se aumentiamo il numero dei lanci, noteremo un fatto interessante, e cioè la presenza di una certa tendenza: all'aumentare del numero dei lanci, il numero delle teste tende a diventare sempre più vicino al numero delle croci. Le due frequenze relative tendono cioè a stabilizzarsi attorno ad un certo valore, che è 0,5.

Questo risultato era prevedibile ancora prima di eseguire i lanci, grazie al concetto di probabilità. Essa è data:

Nel nostro caso 1 è l'esito favorevole (testa) e due sono gli esiti possibili (testa o croce). Il loro rapporto è per l'appunto

Nel lancio di un dado, invece, la probabilità che esca un certo numero è pari a

.

Da questo si capisce come la frequenza relativa si ottenga solo sperimentalmente, cioè eseguendo un certo numero di prove, mentre la probabilità matematicamente, e cioè senza fare prove. Aumentando sempre più il numero delle prove, la frequenza relativa si avvicina sempre di più alla probabilità matematica.

Ma attenzione, perchè la probabilità non assicura niente: il fatto che la probabilità di un evento sia

(cioè 50%) non significa che su 10 lanci si otterranno 5 volte testa e 5 volte croce. Ogni volta che si fa un lancio, per la moneta è sempre la prima volta, cioè non ha memoria del passato. Si dice cioè che ogni esito è completamente indipendente dall'altro. La probabilità diventa tanto più attendibile quanto più cresce il numero delle prove.

La definizione di probabilità appena fornita vale anche quando l'esito favorevole sia più di uno.
Per esempio la probabilità che lanciando un dato esca un numero dispari è pari a:

Chiameremo in questo caso "evento" l'insieme dei tre esiti favorevoli. Ed esso si verifica ogni volta che si verifica uno qualunque degli esiti ad esso appartenenti.

Più in generale diremo che: "Dato uno spazio campionario S costituito da n esiti, chiameremo evento ogni possibile sottoinsieme di S".

Se si preferisce, possiamo dire che la probabilità di un evento è pari alla somma delle probabilità dei singoli esiti che costituiscono l'evento stesso.

Definizioni matematiche relative al calcolo della probabilità: spazi equiparabili finiti

Quando uno spazio campionario è costituito da un numero finito di esiti e tutti gli esiti hanno la stessa probabilità, si dice che esso è "uno spazio equiprobabile finito".

Quella dell'equiprobabilità è un'ipotesi molto comoda, perchè ci affranca dalla necessità di ripetere un gran numero di volte un esperimento e rilevarne gli esiti. Ma nella realtà può spesso accadere che in certe situazioni gli esiti non siano equiprobabili.

Cosa sono gli eventi particolari nel calcolo della probabilità

Un evento è impossibile quando ha probabilità 0 di verificarsi, cioè quando non ha esiti favorevoli.

Un evento è certo quando ha probabilità 1 di verificarsi, cioè quando gli esiti favorevoli sono pari agli eventi possibili.

Definizioni matematiche relative al calcolo della probabilità: eventi incompatibili

Due eventi si dicono incompatibili quando non hanno alcun esito in comune.

Sono due eventi incompatibili ad esempio il prevedere che, su tre lanci della moneta, escano due teste di seguito, oppure che escano due croci di seguito.

Stabilire se due eventi sono incompatibili o no è molto importante, perchè influisce su quella che viene chiamata "probabilità totale", cioè dell'unione di due eventi.

Si chiama invece "probabilità composta" la probabilità dell'intersezione di due eventi.

Se due eventi sono incompatibili (cioè non hanno alcun esito in comune), la probabilità totale è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi, proprio come era stato detto in precedenza a proposito del fare testa o croce al lancio di una moneta. Invece, se due eventi non sono incompatibili, la probabilità totale è uguale alla somma dei due eventi presi singolarmente diminuita della probabilità della loro intersezione.

Facciamo un esempio chiarificatore. Supponiamo di lanciare un dado. Vogliamo sapere qual è la probabilità che esca un numero minore di 5 (cioè 1,2,3,4) oppure un numero pari (2,4,6). Una delle due caratteristiche ci va bene. L'unico numero che né è pari né è minore di 5 è uno solo: 5. Gli altri cinque numeri rispettano invece o l'uno o l'altro requisito. La maggior parte entrambi.
Ricordando la definizione di probabilità, possiamo scrivere:

Esisteva anche un altro modo per arrivare alla soluzione, ed è utilizzando la regola appena introdotta per il calcolo della probabilità totale.

La probabilità che esca un numero minore di 5 è pari a:

La probabilità che esca un numero pari è pari a:

La probabilità della loro intersezione (cioè la probabilità che esca un numero minore di 5 e che sia un numero pari) è pari a:

Infatti gli unici due numeri che rispettano tale requisito sono 2 e 4.

Quindi:

Cosa sono gli eventi dipendenti e cosa si intende per probabilità condizionata

Due eventi sono indipendenti quando la probabilità di ciascuno di essi non è influenzata dal verificarsi o meno dell'altro.

La probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi. Questa definizione è molto importante, perchè viene utilizzata per il riconoscimento di due eventi indipendenti.

Quando due eventi sono invece tali per cui uno influenza il verificarsi dell'altro, si parla di "probabilità condizionata".

Sebbene sarebbe interessante parlare di questo tipo di probabilità, come già accennato all'inizio dell'appunto la nostra trattazione si ferma qui, perchè per ciò che segue (analisi della probabilità condizionata) occorrerebbe una trattazione specifica a parte, e l'introduzione di concetti non semplici quali: probabilità composta di due eventi non indipendenti, correlazione tra eventi e teorema di Bayes.

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo della probabilità vedi anche qua