Ali Q di Ali Q
Mito 24445 punti

Calcolo delle probabilità


Non sempre ad una frase o ad una situazione si può rispondere categoricamente in termini di vero o falso. Allo stesso modo, non tutti gli eventi sono prevedibili con certezza. Anzi, la maggior parte degli eventi sono incerti.
Eppure, nonostante questo, non possiamo fare a meno di fare progetti, cercando di immaginare in anticipo le possibilità future. E su tali previsioni basiamo molte nostre decisioni.
Insomma, prima di intraprendere una qualunque decisione, si cerca sempre di valutare il rischio contro il vantaggio, facendo, in modo spesso inconsapevole, il calcolo delle probabilità.

Se si lancia in aria una moneta, non è possibile prevedere se uscirà testa o croce. E quando un evento non è prevedibile, si dice che esso è affidato al caso.

Allo stesso modo, quando si lancia un dado non è possibile prevedere quale numero uscirà.
Ma anche intuitivamente, ci rendiamo conto che l'eventualità che al lancio di una moneta venga testa è molto più probabile che nel lancio di un dado esca un certo numero. Quindi non tutti gli eventi incerti (ovvero imprevedibili) sono probabili nella stessa misura: alcuni lo sono più di altri.
Riuscire ad assegnare dei numeri ai diversi gradi di probabilità ci mette sulla buona strada per la matematizzazione del concetto di "probabile", e pone quindi le basi per quello che viene chiamato il "calcolo delle probabilità".

Ora, quello del calcolo delle probabilità è senza dubbio un argomento complesso, che richiede uno studio molto lungo e l'introduzione di tanti concetti.
In questo appunto si cercherà di fornire una sorta di "infarinatura generale", al fine di spiegare il più semplicemente possibile in che cosa consiste questo calcolo. Trattandosi di una "infarinatura", non tratteremo di questioni un po' più complesse come ad esempio il concetto di eventi contrari, probabilità statistica, probabilità soggettiva o probabilità condizionata che, sebbene importanti ed interessanti, richiederebbero una trattazione specifica a parte.

Lo spazio campionario


Si chiama "spazio campionario" (S) di un esperimento l'insieme di tutti i suoi esiti possibili.

Quindi, nel lancio di una moneta in aria, testa o croce sono due esiti della prova (o esperimento), detti anche punti o campioni. Testa e croce costituiscono invece lo spazio campionario.
Nel lancio di un dado, lo spazio campionario è invece costituto da tutti i numeri che vanno da 1 a 6.

Frequenza e probabilità


Lanciamo dunque in aria una moneta. Vogliamo determinare la probabilità che venga fuori testa.
Supponiamo di aver eseguito 10 lanci, e che su questi dieci lanci solo 3 volte si sia ottenuta testa. Quindi 3 è il numero di esiti favorevoli. Le altre 7 volte si è avuto croce. Quindi 7 è il numero degli esiti sfavorevoli.

Diremo quindi che 3/10 è la frequenza degli esiti favorevoli. 7/10 è invece la frequenza degli esiti sfavorevoli. Si tratta però di una frequenza relativa, non assoluta. Relativa cioè al numero dei lanci.
Se aumentiamo il numero dei lanci, noteremo un fatto interessante, e cioè la presenza di una certa tendenza: all'aumentare del numero dei lanci, il numero delle teste tende a diventare sempre più vicino al numero delle croci. Le due frequenze relative tendono cioè a stabilizzarsi attorno ad un certo valore, che è 0,5 (cioè 1/2).

Questo risultato era prevedibile ancora prima di eseguire i lanci, grazie al concetto di probabilità. Essa è data:

[math]Probabilità = \frac{Esiti favorevoli}{Esiti possibili}[/math]

Nel nostro caso 1 è l'esito favorevole (testa) e due sono gli esiti possibili (testa o croce). Il loro rapporto è per l'appunto 1/2.
Nel lancio di un dado, invece, la probabilità che esca un certo numero è pari a 1/6.

Da questo si capisce come la frequenza relativa si ottenga solo sperimentalmente, cioè eseguendo un certo numero di prove; mentre la probabilità matematicamente, e cioè senza fare prove. Aumentando sempre più il numero delle prove, la frequenza relativa si avvicina sempre di più alla probabilità matematica.

Ma attenzione, perchè la probabilità non assicura niente: il fatto che la probabilità di un evento sia 1/2 (cioè 50%) non significa che su 10 lanci si otterranno 5 volte testa e 5 volte croce. Ogni volta che si fa un lancio, per la moneta è sempre "la prima volta", cioè non ha memoria del passato. Si dice cioè che ogni esito è completamente indipendente dall'altro. La probabilità diventa tanto più attendibile quanto più cresce il numero delle prove.

La definizione di probabilità appena fornita vale anche quando l'esito favorevole sia più di uno.
Per esempio la probabilità che lanciando un dato esca un numero dispari è pari a:

[math]Probabilità = \frac{Esiti favorevoli}{Esiti possibili} = \frac{3}{6}= \frac{1}{2}[/math]

Chiameremo in questo caso "evento" l'insieme dei tre esiti favorevoli. Ed esso si verifica ogni volta che si verifica uno qualunque degli esiti ad esso appartenenti.

Più in generale diremo che: "Dato uno spazio campionario S costituito da n esiti, chiameremo evento ogni possibile sottoinsieme di S".

Se si preferisce, possiamo dire che la probabilità di un evento è pari alla somma delle probabilità dei singoli esiti che costituiscono l'evento stesso.

Spazi equiparabili finiti


Quando uno spazio campionario è costituito da un numero finito di esiti e tutti gli esiti hanno la stessa probabilità, si dice che esso è "uno spazio equiprobabile finito".

Quella dell'equiprobabilità è un'ipotesi molto comoda, perchè ci affranca dalla necessità di ripetere un gran numero di volte un esperimento e rilevarne gli esiti. Ma nella realtà può spesso accadere che in certe situazioni gli esiti non siano equiprobabili.

Eventi particolari


Un evento è impossibile quando ha probabilità 0 di verificarsi, cioè quando non ha esiti favorevoli.

Un evento è certo quando ha probabilità 1 di verificarsi, cioè quando gli esiti favorevoli sono pari agli eventi possibili.

Eventi incompatibili


Due eventi si dicono incompatibili quando non hanno alcun esito in comune.

Sono due eventi incompatibili ad esempio il prevedere che, su tre lanci della moneta, escano due teste di seguito, oppure che escano due croci di seguito.

Stabilire se due eventi sono incompatibili o no è molto importante, perchè influisce su quella che viene chiamata "probabilità totale", cioè dell'unione di due eventi.

Si chiama invece "probabilità composta" la probabilità dell'intersezione di due eventi.

Se due eventi sono incompatibili (cioè non hanno alcun esito in comune), la probabilità totale è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi, proprio come era stato detto in precedenza a proposito del fare testa o croce al lancio di una moneta. Invece, se due eventi non sono incompatibili, la probabilità totale è uguale alla somma dei due eventi presi singolarmente diminuita della probabilità della loro intersezione.

Facciamo un esempio chiarificatore. Supponiamo di lanciare un dado. Vogliamo sapere qual è la probabilità che esca un numero minore di 5 (cioè 1,2,3,4) oppure un numero pari (2,4,6). Una delle due caratteristiche ci va bene. L'unico numero che né è pari né è minore di 5 è uno solo: 5. Gli altri cinque numeri rispettano invece o l'uno o l'altro requisito. La maggior parte entrambi.
Ricordando la definizione di probabilità, possiamo scrivere:

[math] \frac{Esiti favorevoli}{Esiti possibili} = \frac{5}{6}[/math]

Esisteva anche un altro modo per arrivare alla soluzione, ed è utilizzando la regola appena introdotta per il calcolo della probabilità totale.

La probabilità che esca un numero minore di 5 è pari a:

[math] \frac{Esiti favorevoli}{Esiti possibili} = \frac{4}{6}= \frac{2}{3}[/math]

La probabilità che esca un numero pari è pari a:

[math] \frac{Esiti favorevoli}{Esiti possibili} = \frac{3}{6}= \frac{1}{2}[/math]

La probabilità della loro intersezione (cioè la probabilità che esca un numero minore di 5 e che sia un numero pari) è pari a:

[math] \frac{Esiti favorevoli}{Esiti possibili} = \frac{2}{6}= \frac{1}{3}[/math]

Infatti gli unici due numeri che rispettano tale requisito sono 2 e 4.

Quindi:

[math]Probabilità Totale = \frac{2}{3}+ \frac{1}{2} -\frac{1}{3} = \frac{5}{6}[/math]

Eventi dipendenti e probabilità condizionata


Due eventi sono indipendenti quando la probabilità di ciascuno di essi non è influenzata dal verificarsi o meno dell'altro.

La probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi. Questa definizione è molto importante, perchè viene utilizzata per il riconoscimento di due eventi indipendenti.

Quando due eventi sono invece tali per cui uno influenza il verificarsi dell'altro, si parla di "probabilità condizionata".

Sebbene sarebbe interessante parlare di questo tipo di probabilità, come già accennato all'inizio dell'appunto la nostra trattazione si ferma qui, perchè per ciò che segue (analisi della probabilità condizionata) occorrerebbe una trattazione specifica a parte, e l'introduzione di concetti non semplici quali: probabilità composta di due eventi non indipendenti, correlazione tra eventi e teorema di Bayes.

Hai bisogno di aiuto in Statistica e probabilità?
Trova il tuo insegnante su Skuola.net | Ripetizioni
Registrati via email