Insiemi, sottoinsiemi, unione ed intersezione

In questo appunto vengono descritti e definiti gli insiemi e i sottoinsiemi, vengono spiegate le loro caratteristiche, e le operazioni che si possono fare tra essi.

Insiemi: definizioni e caratteristiche

Gli insiemi sono raggruppamenti di elementi che è possibile individuare con assoluta certezza.
Esistono tante e diverse categorie di insiemi, ad esempio quelli di oggetti, persone, animali ecc.

La caratteristica fondamentale dell’insieme è l’assoluta certezza dell’appartenenza o non appartenenza di un elemento al suo interno.
Ad esempio, se consideriamo l’insieme delle regioni che fanno parte dell’Italia, potremmo citare: il Trentino Alto Adige, la Lombardia, la Campania, la Puglia, il Lazio e altre.
Per indicare gli insiemi si utilizzano le lettere maiuscole dell’alfabeto italiano: A, B, C, D… mentre gli elementi sono indicati con le lettere minuscole: a, b, c, d…
Gli elementi sono ogni oggetto che appartiene all’ insieme in quanto soddisfa la sua condizione caratteristica.
Per scrivere che un elemento appartiene ad un insieme, si utilizza il simbolo ϵ. Al contrario, per scrivere che un elemento non appartiene ad un insieme, si utilizza lo stesso simbolo accompagnato da una crocetta.
Per ulteriori approfondimenti sulla simbologia degli insiemi vedi anche qua.

Insiemi: modi di rappresentazione

E’ possibile rappresentare in diversi modi gli insiemi.
1) Per elencazione (chiamata anche forma tabulare): si inseriscono gli elementi separati tramite punto e virgola all’interno delle parentesi graffe. Ad esempio, se consideriamo l’insieme di alcuni colori: A={blu, rosa, nero, giallo, verde};
2) Per caratteristica: definendo tra due parentesi graffe una proprietà o una caratteristica particolare che permette di distinguere gli elementi all’interno dell’insieme. Ad esempio: A= {a|a è un colore};
3) Con il diagramma di Eulero-Venn: consiste nel rappresentare gli elementi all’interno di un cerchio, accompagnandoli con un punto.

Quando degli insiemi contengono gli stessi elementi si dicono uguali.
Quando, al contrario, degli insiemi non hanno alcun elemento in comune si chiamano disgiunti.
Un insieme si definisce finito quando gli elementi che contiene sono in quantità limitata, infinito se invece essi sono illimitati.
Un esempio di insieme finito è quello che rappresenta le regioni italiane mentre un esempio di insieme infinito è quello che contiene tutti i numeri naturali, gli elementi che compongono il sistema sono infiniti perciò il sistema è infinito.
L’insieme vuoto è un insieme che non contiene nessun elemento, esso viene rappresentato da un cerchio sbarrato.

Sottoinsiemi

Un insieme B è sottoinsieme proprio di un insieme A, se ogni elemento di B appartiene anche A, ma è presente almeno un elemento di A che invece non appartiene a B. Dunque, ogni insieme A può contiene se stesso e l’insieme vuoto.

Consideriamo l’insieme A che comprende le regioni italiane, un esempio di sottoinsieme di A è l’insieme B che contiene le regioni del nord. Tutti gli elementi del sottoinsieme B appartengono all’insieme A (tutte le regioni del nord sono regioni italiane) ma esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B (non tutte le regioni italiane sono regioni del nord), in altre parole esiste almeno una regione italiana che non è una regione del nord, per esempio il Veneto è una regione del nord perciò appartiene all’insieme B e all’insieme A in quanto è una regione italiana, mentre la Puglia è una regione italiana quindi appartiene ad A ma non è una regione del nord quindi non appartiene a B.

Insiemi: intersezione e unione

Tra insiemi è possibile svolgere delle operazioni per fare in modo di ottenerne un terzo. Si tratta dell’unione e dell’intersezione.
L’unione è l’insieme costituito da tutti gli elementi sia di A che di B, considerando una sola volta gli elementi che sono comuni ad entrambi gli insiemi: AꓴB

Consideriamo ad esempio l’insieme A composto dai numeri multipli di 3, e consideriamo come insieme B quello composto dai numeri pari.
Rappresentiamo per elencazione e per caratteristica tali due insiemi:
A={3,6,9,12,15,18,21,…}={a|a è un numero intero multiplo di 3}
B={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,…}={b|b è un numero pari}
Se si rappresentano tali due insiemi utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn ogni insieme può essere disegnato attraverso un cerchio che contiene tutti gli elementi caratteristici dell’insieme.
Dati tali due insiemi possiamo notare dalla rappresentazione per elencazione che esistono alcuni elementi che appartengono ad entrambi questi insiemi, ad esempio il 6,12,18,…
L’insieme che costituisce l’unione è formato dalla tutti gli elementi di entrambi gli insiemi, considerando che bisogna contare una sola volta gli elementi che compaiono in entrambi.
L’insieme unione è quindi:
AꓴB={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,…}

L’intersezione, invece, è l’insieme costituito da tutti e soli gli elementi che appartengono sia ad A che a B: A∩B

Consideriamo sempre i due insiemi utilizzato per l’esempio precedente ovvero l’insieme A composto dai numeri multipli di 3, e consideriamo come insieme B quello composto dai numeri pari.
Rappresentiamo per elencazione e per caratteristica tali due insiemi:
A={3,6,9,12,15,18,21,…}={a|a è un numero intero multiplo di 3}
B={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,…}={b|b è un numero pari}
Osservando la rappresentazione per elencazione possiamo notare che esistono alcuni elementi in comune tra l’insieme A e l’insieme B, tali elementi sono ad esempio il 6,12,18,…
Se quindi rappresentiamo attraverso i diagrammi di Eulero-Venn tali due insiemi, dato che questi hanno qualche elemento in comune, la rappresentazione viene disegnata con due cerchi che si intersecano, nella parte in comune vengono inseriti gli elementi in comune tra i due insiemi mentre nella parte non in comune vengono inseriti gli elementi contenuti in un solo insieme.
L’insieme intersezione è quell’insieme che è costituito proprio dagli elementi in comune perciò in questo caso è:
A∩B={6,12,18,…}

Per ulteriori approfondimenti su un esercizio sull’unione e l’intersezione tra gli insiemi vedi anche qua