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Definizione


Una successione è una particolare funzione
[math]f : \mathbf{A} \to \mathbb{R}[/math]
, con
[math]\mathbf{A} \subseteq \mathbb{N}[/math]
, che ad ogni numero naturale
[math]n[/math]
fa corrispondere un ben determinato numero reale che si indica con
[math]a_n[/math]
. Perciò questa legge trasforma l'insieme numerico
[math]1,\,2,\,3,\,\dots,\,n[/math]
nell'insieme numerico
[math]a_1,\,a_2,\,a_3,\,\dots,\,a_n[/math]
, dove i numeri di quest'ultimo insieme si chiamano termini della successione e sono in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.


Generalità


Il termine
[math]a_n[/math]
si dice termine generale della successione e può essere dato o per elencazione successiva dei vari termini oppure dando la legge di trasformazione. La successione
[math]-3,\,-6,\,-9,\,\dots[/math]
e la successione
[math]a_n = - 3\,n[/math]
rappresentano la stessa successione. Ogni successione come funzione
[math]a_n = f(n)[/math]
con dominio
[math]\mathbb{N}[/math]
e codominio
[math]\mathbb{R}[/math]
può essere rappresentata graficamente rispetto ad un sistema di assi cartesiani; il rispettivo grafico sarà formato dai punti di ascissa
[math]n[/math]
e ordinata
[math]a_n[/math]
e si troveranno nel I e/o IV quadrante.


Nota bene: la definizione di limite e i relativi teoremi sono validi anche per le successioni, trattandosi di particolari funzioni, ma, essendo

[math]+\infty[/math]
l'unico punto di accumulazione nell'insieme
[math]\mathbb{N}[/math]
, si può ovviamente calcolare solamente
[math]\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} a_n \end{aligned}[/math]
.


Successione convergente


Si dice che una successione
[math]a_n[/math]
ha per limite
[math]l[/math]
se, comunque venga scelto un numero
[math]\epsilon > 0[/math]
, esiste un intero
[math]n_0[/math]
, dipendente da
[math]\epsilon[/math]
, tale che per tutti gli
[math]n > n_0[/math]
sia
[math]|a_n - l| < \epsilon[/math]
. Quando una successione ha per limite
[math]l[/math]
si dice che è convergente (o converge ad
[math]l[/math]
) e si scrive
[math]\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} a_n = l \end{aligned}[/math]
; essa è sempre una successione limitata.


Successione divergente


Si dice che una successione
[math]a_n[/math]
ha per limite
[math]\infty[/math]
se comunque venga scelto un numero
[math]M > 0[/math]
esiste un intero
[math]n_0[/math]
, dipendente da
[math]M[/math]
, tale che sia
[math]|a_n| > M[/math]
. Quando una successione ha per limite infinito si dice divergente e si scrive
[math]\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} a_n = \infty \end{aligned}[/math]
; nel caso risulti
[math]-\infty[/math]
deve essere
[math]a_n < - M[/math]
, mentre se risulta
[math]+\infty[/math]
deve essere
[math]a_n > M[/math]
.


Successione indeterminata


Una successione che non sia né convergente, né divergente si dice indeterminata od oscillante.

Successione monotòna


Una successione di numeri reali si dice monotòna se per
[math]\forall\,n \in \mathbb{N}_0\\[/math]
risulta:

i) non decrescente, cioè se

[math]a_n \le a_{n + 1}\\[/math]
;

ii) non crescente, cioè se

[math]a_n \ge a_{n + 1}\\[/math]
;

iii) crescente, cioè se

[math]a_n < a_{n + 1}\\[/math]
;

iv) decrescente, cioè se

[math]a_n > a_{n + 1}\\[/math]
.

Nota bene: una successione monotòna ammette sempre un limite finito o infinito, ossia non risulta mai indeterminata.

Successioni di notevole importanza


i) Progressione aritmetica

Una progressione aritmetica è una successione di numeri reali

[math]a_n[/math]
per i quali è costante la differenza
[math]d[/math]
(ragione della progressione) fra un termine qualsiasi ed il suo precedente. Nel caso in cui
[math]d < 0[/math]
tale progressione è decrescente, mentre nel caso in cui
[math]d > 0[/math]
tale progressione è crescente.


Indicando con

[math]a_1[/math]
il primo termine della progressione, con
[math]n[/math]
il numero di termini, si ha che
[math]a_n[/math]
è il termine n-esimo,
[math]a_r[/math]
e
[math]a_s[/math]
due termini qualunque ed
[math]S_n[/math]
la somma dei primi
[math]n[/math]
termini. Quindi segue che
[math]a_n = a_1 + (n - 1)\,d[/math]
,
[math]a_s = a_r + (s - r)\,d[/math]
(con
[math]s > r[/math]
) ed
[math]S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\,n\\[/math]
.

ii) Progressione geometrica

Una progressione geometrica è una successione di numeri reali

[math]a_n[/math]
per i quali è costante il rapporto
[math]q[/math]
(ragione della progressione) fra un termine qualsiasi ed il suo precedente. Nei casi in cui
[math]q < 1 \,\land \, a_n > 0[/math]
oppure
[math]q > 1 \, \land \, a_n < 0[/math]
tale progressione è decrescente, mentre nei casi in cui
[math]q < 1 \,\land \, a_n < 0[/math]
oppure
[math]q > 1 \, \land \, a_n > 0[/math]
tale progressione è crescente.


Indicando con

[math]a_1[/math]
il primo termine della progressione, con
[math]n[/math]
il numero di termini, si ha che
[math]a_n[/math]
è il termine n-esimo,
[math]a_r[/math]
e
[math]a_s[/math]
due termini qualunque ed
[math]S_n[/math]
la somma dei primi
[math]n[/math]
termini. Quindi segue che
[math]a_n = a_1\,q^{n - 1}[/math]
,
[math]a_s = a_r\,q^{s - r}[/math]
(con
[math]s > r[/math]
) ed
[math]S_n = a_1\,\frac{1 - q^n}{1 - q}\\[/math]
.

iii) Successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi positivi

[math]F_n[/math]
in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione pari all'unità:
[math]F_1 = 1[/math]
,
[math]F_2 = 1[/math]
,
[math]F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}[/math]
. I termini di questa successione, in onore del matematico che l'ha scoperta, sono detti numeri di Fibonacci.


Notando la seguente proprietà:

[math]\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \frac{F_n}{F_{n - 1}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} := \phi\end{aligned}[/math]
, ossia che tale limite è pari alla famosa sezione aurea, e ricordando che per
[math]\phi[/math]
valgono rispettivamente le relazioni
[math]\phi - 1 = \frac{1}{\phi}[/math]
e
[math]1 - \phi = - \frac{1}{\phi}[/math]
, si ha che l'n-esimo numero di Fibonacci si può esprimere tramite la formula
[math]F_n = \frac{\phi^n}{\sqrt{5}} - \frac{(1 - \phi)^n}{\sqrt{5}}[/math]
che semplificata porge
[math]F_n = \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}[/math]
, nota come formula di Binet (che fu il primo matematico a dimostrarla).

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