Teoria del calcolo delle variabili aleatorie discrete o finite

VALORE MEDIO TEORICO – MEDIA DI VC -
Il valore medio teorico, o speranza matematica di una vc X finita è la somma dei prodotti di ciascun valore x_iper le rispettive probabilità p_i.

M(X)=μ_x=∑_(i=1)^n x_i*p_i

VARIANZA DI VC
La varianza di una vc è la media degli scarti dalla media al quadrato

VAR(X)=σ_x^2=∑_(i=1)^n 〖(x_i-μ_x)〗^2*p_i

SCARTO QUADRATICO MEDIO - DEVIAZIONE STANDARD -
Lo scarto quadratico medio, o deviazione standard, è la radice quadrata della varianza, ovvero la radice quadrata della media degli scarti dalla media al quadrato.

SQM(X)=σ_X=√(σ_X^2 )=√(∑_(i=1)^n 〖(x_i-μ_x)〗^2*p_i )

LA VARIABILE CASUALE BINOMIALE – BERNOULLIANA -

Sia dato un esperimento il cui possibili risultati siano bipartibili in due esiti distinti denominati “successo” S e “insuccesso” I, ciascuno con rispettive probabilità p e q (dove è conseguente che q=1-p). Sia, detto esperimento, ripetibile nelle medesime condizioni un numero n di volte.
Allora la variabile casuale

X= numero di successi in n prove ripetute

è detta Variabile casuale di Bernoulli o Binomiale e i suoi parametri identificativi sono

n= numero delle ripetizioni dell'esperimento
p= probabilità di successo nella singola prova.

DOMINIO: X∈[0;n]

FUNZIONE DI PROBABILITA' f(x)=P(X=x)=(n(n)) p^x*q^((n-x))

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

F(X)=0perX F(X)=1perX≥n

MEDIA E VARIANZA

M(X)=μ_x=n*p VAR(X)=σ_X^2=n*p*q

VALORE MODALE COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE DI PROBABILITA'

La funzione è crescente, raggiunge uno o due massimi, quindi decresce. Il valore modale, ovvero il valore di X con probabilità massima si ha per

n*p-q⩽x⩽n*p-q+1
ne deriva che, e, essendo X una vc discreta intera:

- pern*p-qINTERO vi sono DUE massimi in

P(X=n*p-q)=P(X=n*p-q+1)=MAX

- per n*p-qNON INTERO è vi è UN solo massimo per il valore (intero) x_0compreso tra n*p-qe n*p-q+1:

P(X=x_0)=MAX
VARIABILE CAUSALE IPERGEOMETRICA

Sia dato un gruppo di N oggetti di cui K posseggono un dato carattere e N-K no. Si estraggono senza reinserimento (in blocco) n unità da detto insieme.

La variabile casuale X così definita

X= numero di oggetti estratti che posseggono la caratteristica

è detta variabile casuale ipergeometrica-

DOMINIO: X∈[max(0;(n-(N-K)));min(n;K)]

FUNZIONE DI PROBABILITA' f(x)=P(X=x)=((n(K))*(n(N-K@n-x)))/((n(N)) )

MEDIA E VARIANZA

M(X)=μ_x=n*K/N VAR(X)=σ_X^2=n*K/N*((N-K))/N*((N-n))/((N-1))

Per N molto grandi, data la difficoltà di calcolare i fattoriali si può,calcolare, con una buona approssimazione, la probabilità cercata con la Binomiale; tenendo conto che p è dato dal rapporto tra K e N e q, analogamente, dal rapporto tra (N-K) e N.

VARIABILE CAUSALE DI POSSION – EVENTI RARI

L'estensione della variabile casuale di Binomiale per eventi a probabilità bassa (eventi rari) è la variabile casuale di Poisson, che può essere definita:

X= numero di “arrivi” in un determinato intervallo di tempo

DOMINIO: X∈[0;+∞]

FUNZIONE DI PROBABILITA' f(x)=P(X=x)=λ^x/x! e^(-λ) dove λ=n*p>0

MEDIA E VARIANZA

M(X)=μ_x=λ VAR(X)=σ_X^2=λ

VALORE MODALE E COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE DI PROBABILITA'

Il comportamento della funzione di probabilità dipende dal parametro lambda.

λ

la funzione è strettamente decrescente e ha un solo massimo per P(X=0)=max

λ=1

la funzione è decrescente ed ha due massimi per P(X=0)=P(X=1)=max

λ>1
la funzione è dapprima crescente, raggiunge uno o due massimi, quindi diviene decrescente

- perλINTERO vi sono DUE massimi in

P(X=λ-1)=P(X=λ)=MAX

- per λNON INTERO è vi è UN massimo per il valore (intero) x_0compreso tra λ-1e λ:

P(X=x_0)=MAX

LA VARIABILE CASUALE BINOMIALE NEGATIVA

Sia dato un esperimento il cui possibili risultati siano bipartibili in due esiti distinti denominati “successo” S e “insuccesso” I, ciascuno con rispettive probabilità p e q (dove è conseguente che q=1-p). Sia, detto esperimento, ripetibile nelle medesime condizioni un numero infinito di volte.
Allora la variabile casuale

X= numero di insuccessi che precedono r-esimo successo.

è detta Variabile casuale di Bernoulli negativa o Binomiale Negativa

r= numero dei successi
p= probabilità di successo nella singola prova.

DOMINIO: Xϵ(0;+∞)

FUNZIONE DI PROBABILITA' f(x)=P(X=x)=((r+x-1)) p^r*q^x

MEDIA E VARIANZA

M(X)=μ_x=(r*q)/p VAR(X)=σ_X^2=(r*q)/p^2