In questi appunti troverai informazioni generali riguardanti la probabilità, con un approfondimento sulla probabilità condizionata e il teorema di Bayes.
Indice
Che cos'è la probabilità
Il concetto di probabilità, di derivazione matematica, è diventato con il passare del tempo fondamentale in altre discipline: per comprenderne l'importanza, basta pensare al suo utilizzo in campo statistico.
Tale disciplina si basa sull'osservazione dei fenomeni e sulla valutazione della possibilità che questi possano ripetersi.
Un insieme di risultati associati a una probabilità prende il nome di evento.
A seconda di quanto sono probabili, gli eventi possono essere classificati in:
- evento certo, cui probabilità è praticamente unitaria. Un evento certo potrebbe essere "lanciando una moneta ottieni o testa o croce"
- evento impossibile, ossia che non si verificherà mai. E' un evento impossibile, ad esempio "ottieni 8 dal lancio di un dado"
- evento aleatorio, cioè tutti gli eventi cui probabilità non è unitaria né nulla. "ottieni il numero 3 dal lancio di un dado" è un evento aleatorio
Per calcolare la probabilità che un evento accada è necessario fare un rapporto, in particolare tra il numero di casi favorevoli (chiamato anche cardinalità) e il numero di casi possibili. Prendiamo come esempio l'evento aleatorio precedentemente introdotto, cioè "Ottieni il numero 3 dal lancio di un dado".
In questo caso la cardinalità è 1, poiché il numero 3 compare su una sola faccia del dado, mentre il numero di casi possibili ammonta a 6. Per calcolare la probabilità che l'evento "Ottieni il numero 3 dal lancio di un dado" accada, bisogna quindi fare questo rapporto
.
Che cos'è la probabilità condizionata
La probabilità condizionata esprime la probabilità che un certo evento accada a seguito di un altro. Il primo prende il nome di evento condizionato, mentre il secondo viene definito evento condizionante.
Supponiamo che
sia l'evento condizionato e
l'evento condizionante.
L'aggettivo "condizionata" allude proprio alla dipendenza in termini di probabilità che lega il secondo evento al primo.
La formula della probabilità condizionata è la seguente
, in cui
è la probabilità dell'intersezione tra i due eventi, cioè l'evento cui punti campionari appartengono sia ad
che a
, e
è la probabilità legata all'evento
.
Il teorema di Bayes: enunciato ed esempio
Il calcolo della probabilità si fonda su un insieme di teoremi: uno dei più importanti è il teorema di Bayes. Il teorema di Bayes consente di valutare la probabilità condizionata che un evento accada rispetto a un altro.
La formula su cui si basa tale teorema è la seguente
. Le quantità al numeratore esprimono rispettivamente la probabilità condizionata che B accada conosciuto A e la probabilità marginale (cioè non condizionata) dell'evento A. Al denominatore, invece, vi è la probabilità non condizionata dell'evento B.
Esempio svolto sul calcolo della probabilità
Tre urne contengono
palline ciascuna. Le palline nell'urna
sono contrassegnate da numeri che vanno dall'
al
, quelle nell'urna
con i numeri che vanno dal
al
, mentre quelle nell'urna
sono numerate dal
al
.
Si sceglie un'urna a caso (tra di loro equiprobabili) e si estrae una pallina. Sia
la variabile aleatoria discreta corrispondente al numero stampato sulla pallina estratta.
- Calcolare [math]P(X = 10)[/math], cioè la probabilità che il numero estratto sia[math]10[/math]
- Calcolare [math]P(11 \le X \le 13)[/math], cioè la probabilità che il numero estratto sia compreso fra[math]11[/math]e[math]13[/math]
- Calcolare la probabilità che si sia scelta l'urna A, sapendo che l'esito dell'estrazione è stato [math]X=5[/math]
Indicando con
,
,
, gli eventi "è stata scelta l'urna A/B/C", rispettivamente, risulta
[/math]
L'urna
non contiene palline con un numero compreso fra
e
, quindi
, di conseguenza
Considerando che l'urna
non contiene palline numerate con
la (1) diventa
Per ulteriori approfondimenti sulla probabilità condizionata vedi anche qui
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
