Legge di Gravitazione universale e velocità di impatto di una massa

In questo appunto di Fisica si spiega un’esperienza collegata alla Legge di Gravitazione Universale ed alla Conservazione dell’Energia Meccanica, in cui si calcola la velocità di impatto di un oggetto di massa M che si trova alla distanza di un raggio terrestre, R, dalla superficie della Terra. Si aggiunge una piccola introduzione sulla forza di attrazione gravitazionale e sull’energia potenziale ad essa collegata.

La Legge di Gravitazione Universale

Si considerino due punti materiali di masse e , distanti da qualsiasi altra massa in modo da non risentire delle forze di interazione con queste.
La legge di attrazione gravitazionale universale afferma che fra tali masse esiste una forza attrattiva, , avente le seguenti caratteristiche:

• direttamente proporzionale alle masse;
• inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra le due masse stesse.

Questo significa che tale forza aumenterà se aumenta l’intensità delle masse in gioco e diminuirà con l’aumentare della distanza fra queste due masse (fino ad essere nulla per distanze infinitamente grandi).
Il modulo di tale forza è espresso dalla seguente relazione:

dove
G è la costante di gravitazione universale il cui valore è

R è la distanza fra le due masse oggetto di studio (più precisamente la distanza fra i centri di massa).
La direzione di tale forza è individuata dalla retta che contiene il segmento che congiunge le due masse.
Il verso è sempre attrattivo.
Tale legge vale sia per i corpi celesti che per due semplici masse ed è diretta conseguenza delle Leggi di Keplero.

Energia potenziale gravitazionale

Supponiamo di studiare il moto di una massa M, la quale si trova ad una distanza sufficientemente grande dalla superficie terrestre (ad esempio) da poter considerare variabile l’accelerazione di gravità (si ricordi che per lo studio del moto e dell’equilibrio di corpi o punti materiali in prossimità della superficie terrestre, la grandezza g viene considerata costante), ossia ad una distanza tale dalla superficie terrestre da poter considerare non costante la forza di attrazione terrestre. Tale forza, come spiegato sopra, diminuisce se aumenta la distanza della massa M dal centro della Terra, secondo la legge:

dove

è la massa oggetto di studio
è la massa del Terra
R è la distanza dal centro della Terra.
Si vuole calcolare il lavoro totale compiuto da tale forza per far compiere alla massa M uno spostamento fra due punti, da A a B (ovviamente nella direzione in cui agisce la forza ):

dove

è la distanza del punto di partenza A, dal centro della Terra
ed
è la distanza della posizione finale (punto B) della massa M dal centro della Terra
La differenza rappresenta lo spostamento che la massa M ha compiuto.
Se supponiamo di poter suddividere tale spostamento in tanti intervalli infinitesimi (tali che per ognuno di essi la forza di attrazione gravitazionale può essere considerata costante) e per ciascuno di essi poter calcolare il lavoro fatto dalla forza di gravitazione, otterremo che il lavoro totale è dato dalla somma dei lavori parziali su ogni intervallo, quindi avremmo:

dove

è l’ampiezza del primo intervallo infinitesimo

dove

è l’ampiezza del secondo intervallo infinitesimo
E così via fino a

dove

è l’ultimo intervallo
Il valore di R varierà dal valore massimo al valore minimo , con i = 1,…,n.
A questo punto se si approssima il valore di R^2 con la media geometrica otterremo

e l’espressione finale del lavoro compiuto dalla forza gravitazionale nello spostamento dal punto A al punto B sulla massa M è dato da:

Tale lavoro non dipende dalla scelta del percorso fatto per spostare la massa M dal punto iniziale A al punto finale B, ma solo dagli estremi dello spostamento, per cui la forza gravitazionale è conservativa.
In funzione di tale caratteristica si può definire la funzione di stato energia potenziale:

La precedente espressione definisce l’energia potenziale della massa M nel campo gravitazionale generato dalla Terra.
Tale espressione ci dice che l’energia potenziale gravitazionale, a parità di masse, è massima se R è molto piccolo, mentre tende a zero per valori molto grandi di R.

Applicazione della Conservazione dell’Energia Meccanica ad una massa M

Un oggetto di massa M, che si trova alla distanza iniziale pari ad un raggio terrestre, R, dalla superficie della Terra, viene lasciato libero di muoversi (con velocità iniziale nulla).
Si vuole dimostrare che la velocità di tale oggetto, un attimo primo di impattare il suolo terrestre, è data dalla seguente espressione:

Supponendo che sia l’oggetto di massa M sia la Terra siano sufficientemente lontani da qualsiasi altro corpo celeste o massa, in modo da poter trascurare gli effetti della forza gravitazionale con questi, osserveremo che sulla massa M, agirà la forza di attrazione gravitazionale esercitata dal pianeta Terra e tale massa inizierà a muoversi verso la superficie terrestre.
A tale moto, trascurando tutti gli attriti, possiamo applicare il Teorema di Conservazione dell’Energia Meccanica, considerando come punto iniziale quello che ha una distanza pari ad R (raggio terrestre) dalla superficie terrestre e come punto finale quello in prossimità della superficie terrestre.

energia meccanica nella posizione iniziale

dove

è la velocità iniziale ed è tale che è la massa dell’oggetto
è la massa terrestre
energia meccanica nella posizione finale, ossia quella in prossimità del suolo terrestre

dove

è la velocità un attimo prima dell’impatto col suolo ed è la velocità V che si vuole trovare.
Per il teorema di conservazione dell’energia meccanica si ha che:

quindi

La precedente espressione della velocità è quanto si voleva dimostrare , poiché

.
Tale velocità non dipende dalla massa dell’oggetto, ma dalla massa del pianeta Terra.
Si noti infine che tutte le distanze sono misurate dal centro della Terra che rappresenta il suo centro di massa.
Inoltre sono state fatte le seguenti approssimazioni:

• l’oggetto di massa M viene considerato puntiforme, poiché le sue dimensioni sono trascurabili al confronto di quelle della Terra;
• secondo la legge di attrazione gravitazionale, la forza attrattiva che agisce fra le due masse, innesca il moto di entrambe, considereremo trascurabile il moto della Terra verso la massa M, poiché quest’ultima massa risulta trascurabile rispetto alla prima.

Per ulteriori approfondimenti sulla gravitazione universale vedi anche qua